Mechanika płynów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 4 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 100 mm do 50 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 220 kPa, a prędkość 3 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 220 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 100 mm do 50 mm i wznosi się o 2 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 150 kPa, a prędkość 0,75 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 150 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z natężeniem 10 L/s przez rurę o długości 150 m i średnicy wewnętrznej 150 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,028 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

Q = 10 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 150 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,018. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 7 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 0,2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 7 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa tłoczy 60 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 64 m. Sprawność pompy wynosi 70%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 90%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną P_el pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 60 L/sH = 64 mη_pump = 70%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 100 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 17 m wyżej. Rura ma długość 400 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Górny zbiornik jest zamknięty, a powietrze nad wodą ma nadciśnienie 100 kPa. Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 100 L/sΔz = 17 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 6p_tank = 100 kPa

H = m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 157 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·4 = 157 kN

Odpowiedź

F = 157 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 5,636 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·5,5·3 = 165,9 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,5 + 2,25/(5,5·3) = 5,636 m

Odpowiedź

y_cp = 5,636 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 152,5 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(100/50)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67,5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 220 + (−67,5) = 152,5 kPa

Odpowiedź

p₂ = 152,5 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 126,2 kPa

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(100/50)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·2/1000 = 19,62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 150 + (−4,219) − 19,62 = 126,2 kPa

Odpowiedź

p₂ = 126,2 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 0,457 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Prędkość średnia

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,01/0,01767 = 0,5659 m/s

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 0,5659²/(2·9,81) = 0,01632 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(150/0,15)·0,5659²/(2·9,81) = 0,457 m

Odpowiedź

h_f = 0,457 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 155,4 L/s

Współczynniki strat

f·L/D = 0,018·150/0,25 = 10,8

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

7 = (10,8 + 2,9)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·7/13,7) = 3,166 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 3,166·0,04909 = 0,1554 m³/s = 155,4 L/s

Odpowiedź

Q = 155,4 L/s

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_el = 59,79 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·64 = 37,67 kW

Moc na wale

P_shaft = 37,67/0,7 = 53,81 kW

Moc elektryczna

P_el = 53,81/0,9 = 59,79 kW

Odpowiedź

P_el = 59,79 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 34,55 m

Prędkość

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (28,8 + 6)·0,2115 = 7,361 m

Wysokość ciśnienia

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są praktycznie w spoczynku, więc nie ma członu wysokości prędkości.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 17 + 10,19 + 7,361 = 34,55 m

Odpowiedź

H = 34,55 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics