Mechanika płynów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 100 mm do 75 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 220 kPa, a prędkość 1,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 220 kPav₁ = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 150 mm do 50 mm i wznosi się o 1 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 200 kPa, a prędkość 1,25 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 200 kPav₁ = 1,25 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 1,7 m/s przez poziomą rurę o długości 1000 m i średnicy wewnętrznej 100 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 1,7 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 150 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,022. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 5 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompy i moc pompŚredni

Podczas próby pompa tłoczy 30 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 76 m, a jej wał pobiera 37,3 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 30 L/sH = 76 mP_shaft = 37,3 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 15 m wyżej. Rura ma długość 400 m, średnicę wewnętrzną 150 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 5 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 78%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 50 L/sΔz = 15 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 5η = 78%

P_shaft = kW

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 88,29 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Odpowiedź

F = 88,29 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 1,556 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·3 = 44,15 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,5 + 0,25/(1,5·3) = 1,556 m

Odpowiedź

y_cp = 1,556 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 217,6 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(100/75)² = 2,667 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 2,667²)/1000 = −2,431 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 220 + (−2,431) = 217,6 kPa

Odpowiedź

p₂ = 217,6 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 127,7 kPa

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(150/50)² = 11,25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 11,25²)/1000 = −62,5 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 200 + (−62,5) − 9,81 = 127,7 kPa

Odpowiedź

p₂ = 127,7 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 289 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(1000/0,1)·1,7²/(2·9,81) = 29,46 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·29,46 = 289000 Pa = 289 kPa

Odpowiedź

Δp = 289 kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 114,9 L/s

Współczynniki strat

f·L/D = 0,022·150/0,25 = 13,2

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

5 = (13,2 + 4,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·5/17,9) = 2,341 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 2,341·0,04909 = 0,1149 m³/s = 114,9 L/s

Odpowiedź

Q = 114,9 L/s

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 59,96 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·76 = 22,37 kW

Sprawność

η = P_h/P_shaft = 22,37/37,3 = 59,96%

Odpowiedź

η = 59,96%

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 24,4 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (53,33 + 5)·0,408 = 23,8 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 15 + 23,8 = 38,8 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·38,8/0,78 = 24,4 kW

Odpowiedź

P_shaft = 24,4 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics