Mechanika płynów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 1,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 1,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda morska), z górną krawędzią 1 m pod powierzchnią. Wyznacz głębokość y_cp środka parcia pod powierzchnią.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie z natężeniem 38 L/s przez poziomą rurę, która zwęża się z 150 mm do 75 mm. Ciśnienie w wąskim odcinku wynosi 240 kPa. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₁ w szerokim odcinku.

Q = 38 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 240 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Dysza fontanny jest skierowana pionowo w górę. Tuż pod dyszą rura zasilająca ma średnicę 100 mm i nadciśnienie 100 kPa. Średnica wylotu dyszy wynosi 30 mm, a różnica wysokości na długości dyszy jest pomijalna. Pomijając straty i opór powietrza, wyznacz wysokość H, na jaką strumień wznosi się nad dyszę. Przyjmij g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 100 kPa (nadciśnienie)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda płynie z prędkością średnią 1,2 m/s przez rurę o długości 200 m i średnicy wewnętrznej 100 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,03 i g = 9,81 m/s². Wyznacz stratę wysokości na tarcie h_f.

V = 1,2 m/sL = 200 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Rura o długości 100 m i średnicy wewnętrznej 250 mm (współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,015) wychodzi z otwartego zbiornika i wypływa swobodnym strumieniem do atmosfery. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde) i zawór (K = 0,2). Przyjmij g = 9,81 m/s². O ile H zwierciadło wody w zbiorniku musi leżeć wyżej niż wylot rury, aby natężenie przepływu wynosiło 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2

H = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Podczas próby pompa tłoczy 20 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 28 m, a jej wał pobiera 6,7 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 20 L/sH = 28 mP_shaft = 6,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 100 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 12 m wyżej. Rura ma długość 400 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 8 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 70%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 100 L/sΔz = 12 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8η = 70%

P_shaft = kW

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 39,24 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·2 = 39,24 kN

Odpowiedź

F = 39,24 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: y_cp = 2,481 m

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,25·2,5 = 56,56 kN

Środek parcia

Ciśnienie rośnie z głębokością, więc wypadkowa działa poniżej środka ciężkości.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 1,302/(2,25·2,5) = 2,481 m

Odpowiedź

y_cp = 2,481 m

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₁ = 274,7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Prędkości

v₁ = Q/A₁ = 0,038/0,01767 = 2,15 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,038/0,004418 = 8,601 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 240 + ½·1000·(8,601² − 2,15²)/1000 = 240 + 34,68 = 274,7 kPa

Odpowiedź

p₁ = 274,7 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: H = 10,28 m

Prędkość wylotowa

β = 30/100 = 0,3

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·100000/(1000·0,9919)) = 14,2 m/s

Wysokość strumienia

Równanie Bernoulliego wzdłuż strumienia: w najwyższym punkcie prędkość jest równa zeru, a ciśnienie znów jest atmosferyczne.

H = v₂²/(2g) = 14,2²/(2·9,81) = 10,28 m

Odpowiedź

H = 10,28 m

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: h_f = 4,404 m

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Wysokość prędkości

V²/(2g) = 1,2²/(2·9,81) = 0,07339 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(200/0,1)·1,2²/(2·9,81) = 4,404 m

Odpowiedź

h_f = 4,404 m

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: H = 0,632 m

Prędkość

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,015·100/0,25 = 6

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 = 1,3

Równanie energii

Strumień na wylocie nadal niesie swoją wysokość prędkości; to nie strata, ale trzeba ją dostarczyć.

H = (1 + 6 + 1,3)·0,07615 = 0,632 m

Odpowiedź

H = 0,632 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 81,99 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·28 = 5,494 kW

Sprawność

η = P_h/P_shaft = 5,494/6,7 = 81,99%

Odpowiedź

η = 81,99%

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 28,67 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (32 + 8)·0,2115 = 8,461 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 12 + 8,461 = 20,46 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·20,46/0,7 = 28,67 kW

Odpowiedź

P_shaft = 28,67 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics