Mechanika płynów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 0,5 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 2 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Woda płynie przez poziomą rurę, która zwęża się z 100 mm do 50 mm. W szerokim odcinku ciśnienie wynosi 250 kPa, a prędkość 1,25 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w wąskim odcinku.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 250 kPav₁ = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 100 mm do 40 mm i wznosi się o 10 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 290 kPa, a prędkość 0,5 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 290 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 2,5 m/s przez poziomą rurę o długości 300 m i średnicy wewnętrznej 200 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,03 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 2,5 m/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 300 m, średnicy wewnętrznej 250 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,022. Zwierciadło wody w górnym zbiorniku leży 9 m wyżej niż w dolnym. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 2 (K = 0,3 każde), zawór (K = 5) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz natężenie przepływu Q w L/s.

Δz = 9 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompy i moc pompŚredni

Podczas próby pompa tłoczy 10 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 28 m, a jej wał pobiera 3,4 kW. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz sprawność pompy η w procentach.

Q = 10 L/sH = 28 mP_shaft = 3,4 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 100 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 6 m wyżej. Rura ma długość 100 m, średnicę wewnętrzną 250 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,02; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 6 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz wysokość podnoszenia H, którą musi zapewnić pompa.

Q = 100 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 6

H = m

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 128,8 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·7,5 = 128,8 kN

Odpowiedź

F = 128,8 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 68,67 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·2 = 68,67 kN

Odpowiedź

F = 68,67 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 238,3 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,25·(100/50)² = 5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,25² − 5²)/1000 = −11,72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 250 + (−11,72) = 238,3 kPa

Odpowiedź

p₂ = 238,3 kPa

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 187,1 kPa

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/40)² = 3,125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 3,125²)/1000 = −4,758 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 290 + (−4,758) − 98,1 = 187,1 kPa

Odpowiedź

p₂ = 187,1 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 140,6 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(300/0,2)·2,5²/(2·9,81) = 14,33 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·14,33 = 140625 Pa = 140,6 kPa

Odpowiedź

Δp = 140,6 kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Q = 112,7 L/s

Współczynniki strat

f·L/D = 0,022·300/0,25 = 26,4

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Równanie energii

Obie powierzchnie są otwarte do atmosfery i praktycznie w spoczynku, więc całe Δz jest tracone w rurze.

9 = (26,4 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·9/33,5) = 2,296 m/s

Natężenie przepływu

Q = V·π·D²/4 = 2,296·0,04909 = 0,1127 m³/s = 112,7 L/s

Odpowiedź

Q = 112,7 L/s

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: η = 80,79 %

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·28 = 2,747 kW

Sprawność

η = P_h/P_shaft = 2,747/3,4 = 80,79%

Odpowiedź

η = 80,79%

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: H = 8,961 m

Prędkość

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8 + 6)·0,2115 = 2,961 m

Wysokość podnoszenia pompy

Oba zwierciadła są otwarte i praktycznie w spoczynku, więc człony ciśnienia i prędkości znikają.

H = Δz + h_L = 6 + 2,961 = 8,961 m

Odpowiedź

H = 8,961 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics