Mechanika płynów: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 8 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Parcie hydrostatyczne

Ciśnienie na głębokości: p = ρgh
Parcie na ścianę pionową: F = ρg·h_c·A
Środek parcia: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Prostokąt: I_c = bH³/12

Ciągłość i Bernoulli

Ciągłość: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Natężenie przepływu: Q = A·v
Pole koła: A = πd²/4

Tarcie w rurach i straty wysokości

Liczba Reynoldsa: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Charakter przepływu: laminarny poniżej Re ≈ 2000, turbulentny powyżej Re ≈ 4000
Prędkość średnia: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Straty miejscowe: h_m = ΣK·V²/(2g)
Typowe wartości K: wlot 0,5, wylot 1,0, kolano 90° ≈ 0,3
Spadek ciśnienia: Δp = ρ·g·h_f
Dwa otwarte zbiorniki: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Swobodny wypływ: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompy i moc pomp

Moc hydrauliczna: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Moc na wale: P_shaft = P_h/η_pump
Moc elektryczna: P_el = P_shaft/η_motor
Wysokość podnoszenia pompy: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Straty w instalacji: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Zadania do ćwiczenia

1.Parcie hydrostatyczneŚredni

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 1 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (woda), z górną krawędzią 2 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Parcie hydrostatyczneTrudny

Pionowa prostokątna zasuwa o szerokości 3 m znajduje się w ścianie zbiornika z cieczą (gliceryna), z górną krawędzią 3 m pod powierzchnią. Wyznacz wypadkową siłę parcia hydrostatycznego F na zasuwę.

d = 3 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Ciągłość i BernoulliŚredni

Rurka Prandtla w rurociągu wodnym wskazuje różnicę 28 kPa między ciśnieniem spiętrzenia a ciśnieniem statycznym. Wyznacz prędkość wody v przy końcówce.

p₀ − p = 28 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.Ciągłość i BernoulliTrudny

Woda płynie w górę przez rurę, która zwęża się z 100 mm do 75 mm i wznosi się o 7 m. W przekroju 1 ciśnienie wynosi 180 kPa, a prędkość 1,75 m/s. Pomijając straty, wyznacz ciśnienie p₂ w przekroju 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 180 kPav₁ = 1,75 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokościŚredni

Woda (ρ = 1000 kg/m³) płynie z prędkością 1,6 m/s przez poziomą rurę o długości 300 m i średnicy wewnętrznej 100 mm. Przyjmij współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,028 i g = 9,81 m/s². Wyznacz spadek ciśnienia Δp na rurze w kPa.

V = 1,6 m/sL = 300 mD = 100 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokościTrudny

Dwa otwarte zbiorniki są połączone rurą o długości 150 m, średnicy wewnętrznej 100 mm i współczynniku tarcia Darcy’ego f = 0,02. Straty miejscowe to: wlot o ostrej krawędzi (K = 0,5), kolana w liczbie 4 (K = 0,3 każde), zawór (K = 2) i wylot do dolnego zbiornika (K = 1,0). Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka różnica poziomów wody Δz między zbiornikami daje natężenie przepływu 20 L/s?

Q = 20 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompy i moc pompŚredni

Pompa tłoczy 50 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) przy wysokości podnoszenia 40 m. Sprawność pompy wynosi 65%, a napędzającego ją silnika elektrycznego 88%. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz moc elektryczną P_el pobieraną przez silnik, w kW.

Q = 50 L/sH = 40 mη_pump = 65%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompy i moc pompTrudny

Pompa przetłacza 80 L/s wody (ρ = 1000 kg/m³) z otwartego dolnego zbiornika do górnego zbiornika, którego zwierciadło wody leży 5 m wyżej. Rura ma długość 300 m, średnicę wewnętrzną 200 mm i współczynnik tarcia Darcy’ego f = 0,018; współczynniki strat miejscowych sumują się do ΣK = 5 (łącznie z wlotem i wylotem). Przyjmij g = 9,81 m/s². Sprawność pompy wynosi 82%. Wyznacz moc na wale P_shaft w kW.

Q = 80 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 5η = 82%

P_shaft = kW

3Roztwory

1.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 24,52 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·1 = 24,52 kN

Odpowiedź

F = 24,52 kN

2.Parcie hydrostatyczne

Odpowiedź: F = 208,6 kN

Parcie hydrostatyczne na powierzchnię płaską: F = ρ·g·y_c·A. Działa w środku parcia, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), który zawsze leży poniżej środka ciężkości.

Głębokość środka ciężkości i pole

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Siła wypadkowa

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,75·4,5 = 208,6 kN

Odpowiedź

F = 208,6 kN

3.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: v = 7,483 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Równanie Bernoulliego do punktu spiętrzenia

Przepływ zatrzymuje się przy końcówce, więc jego energia kinetyczna ujawnia się jako dodatkowe ciśnienie.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·28000/1000) = 7,483 m/s

Odpowiedź

v = 7,483 m/s

4.Ciągłość i Bernoulli

Odpowiedź: p₂ = 108 kPa

Ciągłość i Bernoulli: dla płynu nieściśliwego natężenie przepływu jest takie samo w każdym przekroju, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Wzdłuż linii prądu bez strat p + ½ρv² + ρgz jest stałe, więc tam, gdzie płyn jest szybszy lub wyżej, ciśnienie jest niższe.

Ciągłość i Bernoulli

Licz w Pa, a potem podziel przez 1000, aby dostać kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,75·(100/75)² = 3,111 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,75² − 3,111²)/1000 = −3,308 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 180 + (−3,308) − 68,67 = 108 kPa

Odpowiedź

p₂ = 108 kPa

5.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δp = 107,5 kPa

Przepływ w rurach: liczba Reynoldsa Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ odróżnia przepływ laminarny (Re poniżej ok. 2000) od turbulentnego (powyżej ok. 4000). Tarcie wzdłuż rury powoduje stratę wysokości Darcy’ego–Weisbacha h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Kształtki, zawory, wlot i wylot dodają straty miejscowe h_m = ΣK·V²/(2g). Między dwiema otwartymi powierzchniami zbiorników równanie energii daje Δz = h_f + h_m, z uwzględnioną stratą na wylocie K = 1.

Strata wysokości

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,1)·1,6²/(2·9,81) = 10,96 m

Spadek ciśnienia

Rura jest pozioma, a prędkość się nie zmienia, więc równanie energii upraszcza się do Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·10,96 = 107520 Pa = 107,5 kPa

Odpowiedź

Δp = 107,5 kPa

6.Tarcie w rurach i straty wysokości

Odpowiedź: Δz = 11,47 m

Prędkość

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Współczynniki strat

f·L/D = 0,02·150/0,1 = 30

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Całkowita strata wysokości

h_f = 30·0,3305 = 9,915 m

h_m = 4,7·0,3305 = 1,553 m

Δz = h_f + h_m = 11,47 m

Odpowiedź

Δz = 11,47 m

7.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_el = 34,3 kW

Moc pompy: moc przekazana wodzie to moc hydrauliczna P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Wał musi dostarczyć więcej, bo pompa ma straty: P_shaft = P_h/η_pump, a silnik pobiera P_el = P_shaft/η_motor. Wysokość podnoszenia pompy H wynika z równania energii: geometryczna wysokość podnoszenia + wysokość ciśnienia + wszystkie straty tarcia i miejscowe.

Moc hydrauliczna

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·40 = 19,62 kW

Moc na wale

P_shaft = 19,62/0,65 = 30,18 kW

Moc elektryczna

P_el = 30,18/0,88 = 34,3 kW

Odpowiedź

P_el = 34,3 kW

8.Pompy i moc pomp

Odpowiedź: P_shaft = 14,91 kW

Prędkość

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Straty wysokości

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 5)·0,3305 = 10,58 m

Wysokość podnoszenia pompy

H = Δz + h_L = 5 + 10,58 = 15,58 m

Moc na wale

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·15,58/0,82 = 14,91 kW

Odpowiedź

P_shaft = 14,91 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics