Potraktuj mostek jako dwa dzielniki napięcia na tym samym zasilaniu.
Dla równowagi przyjmij R₁/R₂ = R₃/R₄ i wyznacz nieznany rezystor.
Dla mostka niezrównoważonego wyznacz Va i Vb z dzielników i odejmij je; użyj układu zastępczego Thévenina, gdy miernik obciąża wyjście.
Dla tensometrów zamień odkształcenie na ΔR/R = GF·ε i użyj Vs·GF·ε/4, /2 lub ×1 odpowiednio dla ćwierćmostka, półmostka i mostka pełnego.
Akwizycja danych i próbkowanie
Kryterium Nyquista
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Częstotliwość aliasu
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Wielkość kroku
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Błąd kwantyzacji (zaokrąglanie)
±½ LSB
Kod ADC przy obcinaniu
D = ⌊Vin/LSB⌋
Liczba bitów dla rozdzielczości r
2ᴺ ≥ span/r
Idealny SQNR, sinusoida o pełnej skali
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Szybkość transmisji danych
kanały × fs × N bit/s
Multipleksowany przetwornik ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bitów na bajt; bajty/s = baud/bity w ramce
Dzielnik szybkości transmisji
baud = fclk/(16·D)
Metoda
Zapisz, co jest dane: częstotliwość próbkowania, częstotliwości sygnałów, liczbę bitów, zakres wejściowy, szybkość transmisji w bodach.
W zadaniach o próbkowaniu porównaj każdą częstotliwość z fs/2; wyższa częstotliwość pojawia się jako fa = |f − k·fs| dla najbliższej wielokrotności fs.
W zadaniach o rozdzielczości wyznacz 1 LSB = VFSR/2ᴺ albo najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/rozdzielczość.
W zadaniach o szybkości danych i łączach UART policz wszystko, co jest wysyłane: kanały, próbki na sekundę, bity lub całe bajty na próbkę oraz bity startu, parzystości i stopu każdej ramki.
Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi
Wzmacniacz odwracający
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Wzmacniacz nieodwracający
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Wzmacniacz sumujący
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealny wzmacniacz operacyjny
V+ = V−, Iin = 0
Rezystory szeregowo i równolegle
Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R
Metoda
Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.
Thévenin i Norton
Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metoda
Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.
2Zadania do ćwiczenia
1.Mostek Wheatstone’a i tensometryŚredni
Mostek z czterema ramionami 350 Ω jest zasilany napięciem 12 V. Gdy czujnik R₂ się zmienia, wyjście wskazuje Vab = 117,7 mV. Wyznacz dokładną zmianę ΔR rezystancji R₂.
Vs = 12 VR = 350 ΩVab = 117,7 mV
ΔR = Ω
2.Mostek Wheatstone’a i tensometryTrudny
Mostek z ramionami 1000 Ω jest zasilany napięciem 10 V i ma cztery czynne tensometry, dwa rozciągane i dwa ściskane (mostek pełny). Współczynnik czułości wynosi 2, a odkształcenie 800 µε. Wyznacz napięcie wyjściowe mostka Vo w mV.
Vs = 10 VGF = 2ε = 800 µε
Vo = mV
3.Akwizycja danych i próbkowanieŚredni
Czujnik mierzy ciśnienie w zakresie 250 kPa, a jego wyjście wypełnia cały zakres wejściowy ADC. Odczyt ma rozróżniać 1 kPa. Wyznacz najmniejszą liczbę bitów N potrzebną przetwornikowi.
zakres = 250 kParozdzielczość = 1 kPa
N =
4.Akwizycja danych i próbkowanieTrudny
24-bitowy ADC przesyła każdą próbkę przez UART z prędkością 38400 bodów w formacie 8E1 (bit startu, 8 bitów danych, parzystość even, 1 bit stopu). Każda próbka jest wysyłana w pełnych bajtach, ich liczba to 3, a łącze jest zajęte przez cały czas. Wyznacz najwyższą częstotliwość sygnału fmax, którą można próbkować bez aliasingu, w Hz.
baud = 38400 BdN = 248E1
fmax = Hz
5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni
Wzmacniacz różnicowy wykorzystuje idealny wzmacniacz operacyjny zasilany napięciem ±15 V, przy czym R3 = R1 i R4 = R2. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.
V1 = 1,9 VV2 = −2 VR1 = R3 = 22 kΩR2 = R4 = 47 kΩ
Vout = V
6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny
Wzmacniacz sumujący korzysta z idealnego wzmacniacza operacyjnego zasilanego napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.
V1 = 1,8 VV2 = 1 VR1 = 10 kΩR2 = 22 kΩRf = 2 kΩ
Vout = V
7.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.
V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 20 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
8.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
Wyznacz prąd IR1 dostarczany przez źródło, płynący przez R1.
Wyznacz prąd Nortona IN: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.
V1 = 15 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
10.Thévenin i NortonTrudny
Między a–b podłączono obciążenie RL = 8 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia IL.
V1 = 5 VIs = 5 AR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 ΩRL = 8 Ω
IL = A
3Roztwory
1.Mostek Wheatstone’a i tensometry
Odpowiedź: ΔR = 14 Ω
Mostek Wheatstone’a: dwa dzielniki napięcia mają wspólne zasilanie Vs. Lewy dzielnik R1–R2 daje Va = Vs·R2/(R1 + R2), a prawy dzielnik R3–R4 daje Vb = Vs·R4/(R3 + R4); wyjściem jest Vab = Va − Vb. Mostek jest zrównoważony (Vab = 0, brak prądu w mierniku), gdy R1/R2 = R3/R4, czyli R1·R4 = R2·R3. Widziany od strony wyjścia mostek jest źródłem Thévenina o Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Napięcie węzła
Va = 6 + 0,1177 = 6,118 V
Rozwiąż dzielnik
R₂ = 350·6,118/(12 − 6,118) = 364 Ω
ΔR = 364 − 350 = 14 Ω
Odpowiedź
ΔR = 14 Ω
2.Mostek Wheatstone’a i tensometry
Odpowiedź: Vo = 16 mV
Tensometry: tensometr zmienia rezystancję pod wpływem odkształcenia: ΔR/R = GF·ε, gdzie współczynnik czułości GF wynosi około 2 dla tensometrów foliowych metalowych. W mostku, w którym wszystkie ramiona mają rezystancję R, jeden czynny tensometr (ćwierćmostek) daje Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dwa czynne tensometry o przeciwnych odkształceniach w sąsiednich ramionach (półmostek) dają Vs·GF·ε/2, a cztery (mostek pełny) dają Vs·GF·ε. Naprężenie wynika z prawa Hooke’a, σ = E·ε. Przetworniki tensometryczne podają czułość w mV/V: napięcie wyjściowe przy pełnym obciążeniu na każdy wolt zasilania.
Względna zmiana rezystancji
ΔR/R = 2·800·10⁻⁶ = 0,0016
Napięcie wyjściowe mostka
Vo = Vs·GF·ε = 10·0,0016 = 16 mV
Odpowiedź
Vo = 16 mV
3.Akwizycja danych i próbkowanie
Odpowiedź: N = 8
Rozdzielczość ADC: N-bitowy przetwornik dzieli swój zakres pełnej skali VFSR na 2ᴺ kodów, od 0 do 2ᴺ − 1. Jeden krok to 1 LSB = VFSR/2ᴺ: najmniejsza zmiana, jaką przetwornik potrafi pokazać. ADC z obcinaniem podaje kod ⌊Vin/LSB⌋; ADC z zaokrąglaniem nigdy nie odbiega od prawdziwej wartości o więcej niż ½ LSB, co jest jego błędem kwantyzacji. Każdy dodatkowy bit zmniejsza LSB o połowę i dodaje około 6 dB do idealnego stosunku sygnału do szumu kwantyzacji SQNR = 6,02·N + 1,76 dB dla sinusoidy o pełnej skali. Aby osiągnąć rozdzielczość r na danym zakresie, wybierz najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/r.
Potrzebna liczba kroków
250/1 = 250
Bity
log₂(250) = 7,966
27 = 128 < 250 ≤ 28 = 256
N = 8
Odpowiedź
N = 8
4.Akwizycja danych i próbkowanie
Odpowiedź: fmax = 581,8 Hz
UART: asynchroniczne łącze szeregowe wysyła każdy bajt w ramce: jeden bit startu (niski), bity danych, opcjonalny bit parzystości i jeden lub dwa bity stopu (wysokie). Szybkość transmisji w bodach to liczba bitów na sekundę, więc jeden bit trwa Tb = 1/baud, a ramka n bitów trwa n/baud. Popularny format 8N1 ma 10 bitów na bajt. Generator szybkości transmisji dzieli zegar: baud = fclk/(16·D) dla liczby całkowitej D, więc rzeczywista szybkość nieco różni się od zamierzonej; błąd poniżej około 2 % zwykle jest akceptowalny.
Bity na próbkę na linii
3·11 = 33 bit
Najwyższa częstotliwość próbkowania
fs,max = 38400/33 = 1164 Hz
Granica Nyquista
fmax = 1164/2 = 581,8 Hz
Odpowiedź
fmax = 581,8 Hz
5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi
Odpowiedź: Vout = −8,332 V
Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.
Napięcie na wejściach
Przez R₃ i R₄ płynie ten sam prąd, więc tworzą dzielnik napięcia; sprzężenie zwrotne sprawia, że V₋ = V₊.
Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.
Prądy wejściowe
V₋ = 0, więc na każdym rezystorze wejściowym jest całe jego napięcie wejściowe.
I1 = V1/R1 = 1,8/10 = 0,18 mA
I2 = V2/R2 = 1/22 = 0,04545 mA
If = I1 + I2 = 0,2255 mA
Napięcie wyjściowe
Vout = −Rf·If = −2·0,2255 = −0,4509 V
Odpowiedź
Vout = −0,4509 V
7.Rezystory szeregowo i równolegle
Odpowiedź: Req = 24,51 Ω
Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.
Łącz rezystory od najdalszego końca
Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.
R3 + R4 = 20 + 6 = 26 Ω
R2 ∥ 26 = 15·26/(15+26) = 9,512 Ω
Req = R1 + 9,512 = 15 + 9,512 = 24,51 Ω
Odpowiedź
Req = 24,51 Ω
8.Rezystory szeregowo i równolegle
Odpowiedź: IR1 = 1,081 A
Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.
Łącz rezystory od najdalszego końca
Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.
R5 + R6 = 3 + 6 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 2,25 Ω
R3 + 2,25 = 17,25 Ω
R2 ∥ 17,25 = 3,876 Ω
Req = R1 + 3,876 = 10 + 3,876 = 13,88 Ω
Prąd ze źródła
Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.
IR1 = V1/Req = 15/13,88 = 1,081 A
Odpowiedź
IR1 = 1,081 A
9.Thévenin i Norton
Odpowiedź: IN = 0,6048 A
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 12·20/(12+20) = 7,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7,5 + 8 = 15,5 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·20/(12+20) = 9,375 V
Układ zastępczy Nortona
Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.
IN = Vth/Rth = 9,375/15,5 = 0,6048 A
10.Thévenin i Norton
Odpowiedź: IL = 1,829 A
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 3·4/(3+4) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 2 = 3,714 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,857 + 5·1,714 = 11,43 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11,43 + 5·2 = 21,43 V
Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina
Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.