Potraktuj mostek jako dwa dzielniki napięcia na tym samym zasilaniu.
Dla równowagi przyjmij R₁/R₂ = R₃/R₄ i wyznacz nieznany rezystor.
Dla mostka niezrównoważonego wyznacz Va i Vb z dzielników i odejmij je; użyj układu zastępczego Thévenina, gdy miernik obciąża wyjście.
Dla tensometrów zamień odkształcenie na ΔR/R = GF·ε i użyj Vs·GF·ε/4, /2 lub ×1 odpowiednio dla ćwierćmostka, półmostka i mostka pełnego.
Akwizycja danych i próbkowanie
Kryterium Nyquista
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Częstotliwość aliasu
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Wielkość kroku
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Błąd kwantyzacji (zaokrąglanie)
±½ LSB
Kod ADC przy obcinaniu
D = ⌊Vin/LSB⌋
Liczba bitów dla rozdzielczości r
2ᴺ ≥ span/r
Idealny SQNR, sinusoida o pełnej skali
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Szybkość transmisji danych
kanały × fs × N bit/s
Multipleksowany przetwornik ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bitów na bajt; bajty/s = baud/bity w ramce
Dzielnik szybkości transmisji
baud = fclk/(16·D)
Metoda
Zapisz, co jest dane: częstotliwość próbkowania, częstotliwości sygnałów, liczbę bitów, zakres wejściowy, szybkość transmisji w bodach.
W zadaniach o próbkowaniu porównaj każdą częstotliwość z fs/2; wyższa częstotliwość pojawia się jako fa = |f − k·fs| dla najbliższej wielokrotności fs.
W zadaniach o rozdzielczości wyznacz 1 LSB = VFSR/2ᴺ albo najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/rozdzielczość.
W zadaniach o szybkości danych i łączach UART policz wszystko, co jest wysyłane: kanały, próbki na sekundę, bity lub całe bajty na próbkę oraz bity startu, parzystości i stopu każdej ramki.
Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi
Wzmacniacz odwracający
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Wzmacniacz nieodwracający
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Wzmacniacz sumujący
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealny wzmacniacz operacyjny
V+ = V−, Iin = 0
Rezystory szeregowo i równolegle
Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R
Metoda
Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.
Thévenin i Norton
Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metoda
Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.
2Zadania do ćwiczenia
1.Mostek Wheatstone’a i tensometryŚredni
Mostek ma cztery ramiona 300 Ω i Vs = 12 V. Czujnik R₂ zwiększa się o ΔR = 15 Ω. Wyznacz dokładne napięcie wyjściowe Vab w mV.
Vs = 12 VR = 300 ΩΔR = 15 Ω
Vab = mV
2.Mostek Wheatstone’a i tensometryTrudny
Mostek z ramionami 1000 Ω jest zasilany napięciem 10 V i ma dwa czynne tensometry w sąsiednich ramionach, jeden rozciągany i jeden ściskany (półmostek). Współczynnik czułości wynosi 2,12, a odkształcenie 400 µε. Wyznacz napięcie wyjściowe mostka Vo w mV.
Vs = 10 VGF = 2,12ε = 400 µε
Vo = mV
3.Akwizycja danych i próbkowanieŚredni
Czujnik mierzy ciśnienie w zakresie 500 kPa, a jego wyjście wypełnia cały zakres wejściowy ADC. Odczyt ma rozróżniać 0,5 kPa. Wyznacz najmniejszą liczbę bitów N potrzebną przetwornikowi.
zakres = 500 kParozdzielczość = 0,5 kPa
N =
4.Akwizycja danych i próbkowanieTrudny
Fala prostokątna 700 Hz jest próbkowana z częstotliwością 2 kHz bez filtra antyaliasingowego. Fala prostokątna zawiera nieparzyste harmoniczne 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Przy jakiej częstotliwości fa pojawia się w danych jej harmoniczna 7f₁? Podaj ją w Hz.
f₁ = 700 Hzfs = 2 kHzharmoniczna: 7f₁
fa = Hz
5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni
Wzmacniacz operacyjny jest idealny i zasilany napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.
Vin = 1 VRa = 10 kΩRb = 1 kΩR1 = 2 kΩRf = 22 kΩ
Vout = V
6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny
Wzmacniacz sumujący korzysta z idealnego wzmacniacza operacyjnego zasilanego napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.
Mostek Wheatstone’a: dwa dzielniki napięcia mają wspólne zasilanie Vs. Lewy dzielnik R1–R2 daje Va = Vs·R2/(R1 + R2), a prawy dzielnik R3–R4 daje Vb = Vs·R4/(R3 + R4); wyjściem jest Vab = Va − Vb. Mostek jest zrównoważony (Vab = 0, brak prądu w mierniku), gdy R1/R2 = R3/R4, czyli R1·R4 = R2·R3. Widziany od strony wyjścia mostek jest źródłem Thévenina o Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Napięcia węzłów
Va = 12·315/615 = 6,146 V
Vb = 6 V
Wydalone
Vab = 146,3 mV
Odpowiedź
Vab = 146,3 mV
Oszacowanie liniowe Vs·ΔR/(4R) = 150 mV jest o 2,5 % za wysokie: ćwierćmostek nie jest całkiem liniowy.
2.Mostek Wheatstone’a i tensometry
Odpowiedź: Vo = 4,24 mV
Tensometry: tensometr zmienia rezystancję pod wpływem odkształcenia: ΔR/R = GF·ε, gdzie współczynnik czułości GF wynosi około 2 dla tensometrów foliowych metalowych. W mostku, w którym wszystkie ramiona mają rezystancję R, jeden czynny tensometr (ćwierćmostek) daje Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dwa czynne tensometry o przeciwnych odkształceniach w sąsiednich ramionach (półmostek) dają Vs·GF·ε/2, a cztery (mostek pełny) dają Vs·GF·ε. Naprężenie wynika z prawa Hooke’a, σ = E·ε. Przetworniki tensometryczne podają czułość w mV/V: napięcie wyjściowe przy pełnym obciążeniu na każdy wolt zasilania.
Względna zmiana rezystancji
ΔR/R = 2,12·400·10⁻⁶ = 0,000848
Napięcie wyjściowe mostka
Vo = Vs·GF·ε/2 = 10·0,000848/2 = 4,24 mV
Odpowiedź
Vo = 4,24 mV
3.Akwizycja danych i próbkowanie
Odpowiedź: N = 10
Rozdzielczość ADC: N-bitowy przetwornik dzieli swój zakres pełnej skali VFSR na 2ᴺ kodów, od 0 do 2ᴺ − 1. Jeden krok to 1 LSB = VFSR/2ᴺ: najmniejsza zmiana, jaką przetwornik potrafi pokazać. ADC z obcinaniem podaje kod ⌊Vin/LSB⌋; ADC z zaokrąglaniem nigdy nie odbiega od prawdziwej wartości o więcej niż ½ LSB, co jest jego błędem kwantyzacji. Każdy dodatkowy bit zmniejsza LSB o połowę i dodaje około 6 dB do idealnego stosunku sygnału do szumu kwantyzacji SQNR = 6,02·N + 1,76 dB dla sinusoidy o pełnej skali. Aby osiągnąć rozdzielczość r na danym zakresie, wybierz najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/r.
Potrzebna liczba kroków
500/0,5 = 1000
Bity
log₂(1000) = 9,966
29 = 512 < 1000 ≤ 210 = 1024
N = 10
Odpowiedź
N = 10
4.Akwizycja danych i próbkowanie
Odpowiedź: fa = 900 Hz
Próbkowanie: ADC mierzy sygnał fs razy na sekundę. Zgodnie z twierdzeniem Nyquista–Shannona częstotliwość f jest rejestrowana poprawnie tylko wtedy, gdy f < fs/2, czyli poniżej częstotliwości Nyquista (zawijania), więc częstotliwość próbkowania musi przekraczać dwukrotność najwyższej częstotliwości sygnału. Wyższa częstotliwość nie przepada: pojawia się jako alias przy fa = |f − k·fs|, gdzie liczba całkowita k daje wynik między 0 a fs/2. Próbki nie pozwalają odróżnić tych dwóch sygnałów, dlatego analogowy filtr antyaliasingowy musi usunąć wszystko powyżej fs/2 przed przetwornikiem ADC.
Alias ląduje wewnątrz pasma sygnału, gdzie żaden filtr cyfrowy go nie usunie. Pomaga tylko filtr analogowy przed ADC.
5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi
Odpowiedź: Vout = 1,091 V
Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.
Napięcie na wejściu +
V₊ = Vin·Rb/(Ra + Rb) = 1·1/(10 + 1) = 0,09091 V
Wzmocnienie nieodwracające
V₋ = V₊, a prąd płynący przez R₁ płynie też przez Rf.
Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.
Prądy wejściowe
V₋ = 0, więc na każdym rezystorze wejściowym jest całe jego napięcie wejściowe.
I1 = V1/R1 = −1,7/100 = −0,017 mA
I2 = V2/R2 = 1,5/10 = 0,15 mA
If = I1 + I2 = 0,133 mA
Napięcie wyjściowe
Vout = −Rf·If = −47·0,133 = −6,251 V
Odpowiedź
Vout = −6,251 V
7.Rezystory szeregowo i równolegle
Odpowiedź: IR1 = 1,053 A
Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.
Łącz rezystory od najdalszego końca
Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.
R3 + R4 = 4 + 5 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 3·9/(3+9) = 2,25 Ω
Req = R1 + 2,25 = 12 + 2,25 = 14,25 Ω
Prąd ze źródła
Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.
IR1 = V1/Req = 15/14,25 = 1,053 A
Odpowiedź
IR1 = 1,053 A
8.Rezystory szeregowo i równolegle
Odpowiedź: IR1 = 0,6586 A
Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.
Łącz rezystory od najdalszego końca
Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.
R5 + R6 = 12 + 15 = 27 Ω
R4 ∥ 27 = 7,297 Ω
R3 + 7,297 = 37,3 Ω
R2 ∥ 37,3 = 2,777 Ω
Req = R1 + 2,777 = 20 + 2,777 = 22,78 Ω
Prąd ze źródła
Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.
IR1 = V1/Req = 15/22,78 = 0,6586 A
Odpowiedź
IR1 = 0,6586 A
9.Thévenin i Norton
Odpowiedź: IN = 0,8929 A
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 12·20/(12+20) = 7,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7,5 + 3 = 10,5 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·20/(12+20) = 9,375 V
Układ zastępczy Nortona
Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.
IN = Vth/Rth = 9,375/10,5 = 0,8929 A
10.Thévenin i Norton
Odpowiedź: IL = 1,048 A
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 25·12/(25+12) = 8,108 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8,108 + 6 = 14,11 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,865 + 1·8,108 = 12,97 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12,97 + 1·6 = 18,97 V
Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina
Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.