Pomiary i aparatura: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Mostek Wheatstone’a i tensometry

Napięcia dzielników: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Wydalone: V_ab = V_a − V_b
Bilans: R₁/R₂ = R₃/R₄
Mostek z drutem oporowym: R/R_x = l/(100 − l)
Rezystancja Thévenina: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Współczynnik czułości: ΔR/R = GF·ε
Napięcie wyjściowe mostka: ćwierćmostek V_s·GF·ε/4, półmostek V_s·GF·ε/2, mostek pełny V_s·GF·ε
Mała zmiana, jedno ramię: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Naprężenie: σ = E·ε

Metoda

Potraktuj mostek jako dwa dzielniki napięcia na tym samym zasilaniu.
Dla równowagi przyjmij R₁/R₂ = R₃/R₄ i wyznacz nieznany rezystor.
Dla mostka niezrównoważonego wyznacz V_a i V_b z dzielników i odejmij je; użyj układu zastępczego Thévenina, gdy miernik obciąża wyjście.
Dla tensometrów zamień odkształcenie na ΔR/R = GF·ε i użyj V_s·GF·ε/4, /2 lub ×1 odpowiednio dla ćwierćmostka, półmostka i mostka pełnego.

Akwizycja danych i próbkowanie

Kryterium Nyquista: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Częstotliwość aliasu: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Wielkość kroku: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Błąd kwantyzacji (zaokrąglanie): ±½ LSB
Kod ADC przy obcinaniu: D = ⌊V_in/LSB⌋
Liczba bitów dla rozdzielczości r: 2ᴺ ≥ span/r
Idealny SQNR, sinusoida o pełnej skali: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Szybkość transmisji danych: kanały × f_s × N bit/s
Multipleksowany przetwornik ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bitów na bajt; bajty/s = baud/bity w ramce
Dzielnik szybkości transmisji: baud = f_clk/(16·D)

Metoda

Zapisz, co jest dane: częstotliwość próbkowania, częstotliwości sygnałów, liczbę bitów, zakres wejściowy, szybkość transmisji w bodach.
W zadaniach o próbkowaniu porównaj każdą częstotliwość z f_s/2; wyższa częstotliwość pojawia się jako f_a = |f − k·f_s| dla najbliższej wielokrotności f_s.
W zadaniach o rozdzielczości wyznacz 1 LSB = V_FSR/2ᴺ albo najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/rozdzielczość.
W zadaniach o szybkości danych i łączach UART policz wszystko, co jest wysyłane: kanały, próbki na sekundę, bity lub całe bajty na próbkę oraz bity startu, parzystości i stopu każdej ramki.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Wzmacniacz nieodwracający: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Wzmacniacz sumujący: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Idealny wzmacniacz operacyjny: V₊ = V₋, I_in = 0

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Mostek Wheatstone’a i tensometryŚredni

Mostek ma cztery ramiona 120 Ω i V_s = 2 V. Czujnik R₂ zwiększa się o ΔR = 0,24 Ω. Używając przybliżenia małych zmian, wyznacz napięcie wyjściowe V_ab w mV.

V_s = 2 VR = 120 ΩΔR = 0,24 Ω

V_ab = mV

2.Mostek Wheatstone’a i tensometryTrudny

Tensometr (GF = 2) na elemencie o E = 110 GPa tworzy ćwierćmostek zasilany napięciem 10 V. Wyjście wskazuje 3 mV. Wyznacz naprężenie osiowe σ w MPa.

V_s = 10 VGF = 2V_o = 3 mVE = 110 GPa

σ = MPa

3.Akwizycja danych i próbkowanieŚredni

10-bitowy ADC o zakresie wejściowym od 0 do 2,5 V obcina: jego kod wyjściowy to ⌊V_in/LSB⌋, gdzie 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Wyznacz dziesiętny kod wyjściowy D dla napięcia wejściowego 1,764 V.

N = 10V_FSR = 2,5 VV_in = 1,764 V

D =

4.Akwizycja danych i próbkowanieTrudny

12-bitowy ADC przesyła każdą próbkę przez UART z prędkością 38400 bodów w formacie 8E1 (bit startu, 8 bitów danych, parzystość even, 1 bit stopu). Każda próbka jest wysyłana w pełnych bajtach, ich liczba to 2, a łącze jest zajęte przez cały czas. Wyznacz najwyższą częstotliwość sygnału f_max, którą można próbkować bez aliasingu, w Hz.

baud = 38400 BdN = 128E1

f_max = Hz

5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni

Wzmacniacz różnicowy wykorzystuje idealny wzmacniacz operacyjny zasilany napięciem ±15 V, przy czym R₃ = R₁ i R₄ = R₂. Wyznacz napięcie wyjściowe V_out.

V₁ = 0,3 VV₂ = 2,7 VR₁ = R₃ = 100 kΩR₂ = R₄ = 22 kΩ

V_out = V

6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny

Wzmacniacz sumujący korzysta z idealnego wzmacniacza operacyjnego zasilanego napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe V_out.

V₁ = 0,5 VV₂ = 0,6 VR₁ = 22 kΩR₂ = 4,7 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

7.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

8.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

9.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz prąd Nortona I_N: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 Ω

I_N = A

10.Thévenin i NortonTrudny

Wyznacz prąd Nortona I_N: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.

V₁ = 10 VI_s = 3 AR₁ = 3 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

3Roztwory

1.Mostek Wheatstone’a i tensometry

Odpowiedź: V_ab = 1 mV

Mostek Wheatstone’a: dwa dzielniki napięcia mają wspólne zasilanie V_s. Lewy dzielnik R₁–R₂ daje V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), a prawy dzielnik R₃–R₄ daje V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); wyjściem jest V_ab = V_a − V_b. Mostek jest zrównoważony (V_ab = 0, brak prądu w mierniku), gdy R₁/R₂ = R₃/R₄, czyli R₁·R₄ = R₂·R₃. Widziany od strony wyjścia mostek jest źródłem Thévenina o R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Zmiana względna

ΔR/R = 0,24/120 = 0,002

Wyjście zlinearyzowane

V_ab ≈ 2·0,002/4 = 1 mV

Odpowiedź

V_ab = 1 mV

Dokładna wartość to 0,999 mV; przybliżenie jest dobre, dopóki ΔR/R jest małe.

2.Mostek Wheatstone’a i tensometry

Odpowiedź: σ = 66 MPa

Tensometry: tensometr zmienia rezystancję pod wpływem odkształcenia: ΔR/R = GF·ε, gdzie współczynnik czułości GF wynosi około 2 dla tensometrów foliowych metalowych. W mostku, w którym wszystkie ramiona mają rezystancję R, jeden czynny tensometr (ćwierćmostek) daje V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dwa czynne tensometry o przeciwnych odkształceniach w sąsiednich ramionach (półmostek) dają V_s·GF·ε/2, a cztery (mostek pełny) dają V_s·GF·ε. Naprężenie wynika z prawa Hooke’a, σ = E·ε. Przetworniki tensometryczne podają czułość w mV/V: napięcie wyjściowe przy pełnym obciążeniu na każdy wolt zasilania.

Odkształcenie

ε = 4·0,003/(10·2) = 0,0006

Naprężenie

σ = 110·10³ MPa·0,0006 = 66 MPa

Odpowiedź

σ = 66 MPa

3.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: D = 722

Rozdzielczość ADC: N-bitowy przetwornik dzieli swój zakres pełnej skali V_FSR na 2ᴺ kodów, od 0 do 2ᴺ − 1. Jeden krok to 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: najmniejsza zmiana, jaką przetwornik potrafi pokazać. ADC z obcinaniem podaje kod ⌊V_in/LSB⌋; ADC z zaokrąglaniem nigdy nie odbiega od prawdziwej wartości o więcej niż ½ LSB, co jest jego błędem kwantyzacji. Każdy dodatkowy bit zmniejsza LSB o połowę i dodaje około 6 dB do idealnego stosunku sygnału do szumu kwantyzacji SQNR = 6,02·N + 1,76 dB dla sinusoidy o pełnej skali. Aby osiągnąć rozdzielczość r na danym zakresie, wybierz najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/r.

Wielkość kroku

1 LSB = 2,5/2¹⁰ = 2,441 mV

Kod

V_in/LSB = 1764/2,441 = 722,5

kod = ⌊722,5⌋ = 722

Odpowiedź

D = 722

Zapisany dwójkowo to 1011010010.

4.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: f_max = 872,7 Hz

UART: asynchroniczne łącze szeregowe wysyła każdy bajt w ramce: jeden bit startu (niski), bity danych, opcjonalny bit parzystości i jeden lub dwa bity stopu (wysokie). Szybkość transmisji w bodach to liczba bitów na sekundę, więc jeden bit trwa T_b = 1/baud, a ramka n bitów trwa n/baud. Popularny format 8N1 ma 10 bitów na bajt. Generator szybkości transmisji dzieli zegar: baud = f_clk/(16·D) dla liczby całkowitej D, więc rzeczywista szybkość nieco różni się od zamierzonej; błąd poniżej około 2 % zwykle jest akceptowalny.

Bity na próbkę na linii

2·11 = 22 bit

Najwyższa częstotliwość próbkowania

f_s,max = 38400/22 = 1745 Hz

Granica Nyquista

f_max = 1745/2 = 872,7 Hz

Odpowiedź

f_max = 872,7 Hz

5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: V_out = 0,528 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Napięcie na wejściach

Przez R₃ i R₄ płynie ten sam prąd, więc tworzą dzielnik napięcia; sprzężenie zwrotne sprawia, że V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2,7·22/(100 + 22) = 0,4869 V

V₋ = V₊

PPK na wejściu odwracającym

(0,3 − 0,4869)/100 = (0,4869 − V_out)/22

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (22/100)·(2,7 − 0,3) = 0,528 V

Odpowiedź

V_out = 0,528 V

6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: V_out = −1,504 V

Prądy wejściowe

V₋ = 0, więc na każdym rezystorze wejściowym jest całe jego napięcie wejściowe.

I₁ = V₁/R₁ = 0,5/22 = 0,02273 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0,6/4,7 = 0,1277 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,1504 mA

Napięcie wyjściowe

V_out = −R_f·I_f = −10·0,1504 = −1,504 V

Odpowiedź

V_out = −1,504 V

7.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 8,857 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 4 + 6 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 4·10/(4+10) = 2,857 Ω

R_eq = R₁ + 2,857 = 6 + 2,857 = 8,857 Ω

Odpowiedź

R_eq = 8,857 Ω

8.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,4085 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 2 + 6 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 6,061 Ω

R₃ + 6,061 = 21,06 Ω

R₂ ∥ 21,06 = 11,43 Ω

R_eq = R₁ + 11,43 = 2 + 11,43 = 13,43 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/13,43 = 0,8935 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,8935·2 = 10,21 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,21/25 = 0,4085 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,4085 A

9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_N = 0,5625 A

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,714 + 12 = 13,71 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·12/(2+12) = 7,714 V

Układ zastępczy Nortona

Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.

I_N = V_th/R_th = 7,714/13,71 = 0,5625 A

10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_N = 3,847 A

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 3·30/(3+30) = 2,727 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,727 + 8 = 10,73 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9,091 + 3·2,727 = 17,27 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 17,27 + 3·8 = 41,27 V

Układ zastępczy Nortona

Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.

I_N = V_th/R_th = 41,27/10,73 = 3,847 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Pomiary i aparatura: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Mostek Wheatstone’a i tensometry

Metoda

Akwizycja danych i próbkowanie

Metoda

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Rezystory szeregowo i równolegle

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Zmiana względna

Wyjście zlinearyzowane

Odpowiedź

Odkształcenie

Naprężenie

Odpowiedź

Wielkość kroku

Kod

Odpowiedź

Bity na próbkę na linii

Najwyższa częstotliwość próbkowania

Granica Nyquista

Odpowiedź

Napięcie na wejściach

PPK na wejściu odwracającym

Odpowiedź

Prądy wejściowe

Napięcie wyjściowe

Odpowiedź

Łącz rezystory od najdalszego końca

Odpowiedź

Łącz rezystory od najdalszego końca

Prąd ze źródła

Prąd przez R₂

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Układ zastępczy Nortona

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Układ zastępczy Nortona

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego