Pomiary i aparatura: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Mostek Wheatstone’a i tensometry

Napięcia dzielników: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Wydalone: V_ab = V_a − V_b
Bilans: R₁/R₂ = R₃/R₄
Mostek z drutem oporowym: R/R_x = l/(100 − l)
Rezystancja Thévenina: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Współczynnik czułości: ΔR/R = GF·ε
Napięcie wyjściowe mostka: ćwierćmostek V_s·GF·ε/4, półmostek V_s·GF·ε/2, mostek pełny V_s·GF·ε
Mała zmiana, jedno ramię: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Naprężenie: σ = E·ε

Metoda

Potraktuj mostek jako dwa dzielniki napięcia na tym samym zasilaniu.
Dla równowagi przyjmij R₁/R₂ = R₃/R₄ i wyznacz nieznany rezystor.
Dla mostka niezrównoważonego wyznacz V_a i V_b z dzielników i odejmij je; użyj układu zastępczego Thévenina, gdy miernik obciąża wyjście.
Dla tensometrów zamień odkształcenie na ΔR/R = GF·ε i użyj V_s·GF·ε/4, /2 lub ×1 odpowiednio dla ćwierćmostka, półmostka i mostka pełnego.

Akwizycja danych i próbkowanie

Kryterium Nyquista: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Częstotliwość aliasu: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Wielkość kroku: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Błąd kwantyzacji (zaokrąglanie): ±½ LSB
Kod ADC przy obcinaniu: D = ⌊V_in/LSB⌋
Liczba bitów dla rozdzielczości r: 2ᴺ ≥ span/r
Idealny SQNR, sinusoida o pełnej skali: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Szybkość transmisji danych: kanały × f_s × N bit/s
Multipleksowany przetwornik ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bitów na bajt; bajty/s = baud/bity w ramce
Dzielnik szybkości transmisji: baud = f_clk/(16·D)

Metoda

Zapisz, co jest dane: częstotliwość próbkowania, częstotliwości sygnałów, liczbę bitów, zakres wejściowy, szybkość transmisji w bodach.
W zadaniach o próbkowaniu porównaj każdą częstotliwość z f_s/2; wyższa częstotliwość pojawia się jako f_a = |f − k·f_s| dla najbliższej wielokrotności f_s.
W zadaniach o rozdzielczości wyznacz 1 LSB = V_FSR/2ᴺ albo najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/rozdzielczość.
W zadaniach o szybkości danych i łączach UART policz wszystko, co jest wysyłane: kanały, próbki na sekundę, bity lub całe bajty na próbkę oraz bity startu, parzystości i stopu każdej ramki.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Wzmacniacz nieodwracający: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Wzmacniacz sumujący: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Idealny wzmacniacz operacyjny: V₊ = V₋, I_in = 0

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Mostek Wheatstone’a i tensometryŚredni

Mostek ma cztery ramiona 1000 Ω i V_s = 6 V. Czujnik R₂ zwiększa się o ΔR = 150 Ω. Wyznacz dokładne napięcie wyjściowe V_ab w mV.

V_s = 6 VR = 1000 ΩΔR = 150 Ω

V_ab = mV

2.Mostek Wheatstone’a i tensometryTrudny

Tensometr (GF = 2) na elemencie o E = 200 GPa tworzy ćwierćmostek zasilany napięciem 10 V. Wyjście wskazuje 7,5 mV. Wyznacz naprężenie osiowe σ w MPa.

V_s = 10 VGF = 2V_o = 7,5 mVE = 200 GPa

σ = MPa

3.Akwizycja danych i próbkowanieŚredni

Sinusoida 800 Hz jest próbkowana z częstotliwością 1 kHz bez filtra antyaliasingowego. Przy jakiej częstotliwości f_a pojawia się w próbkach? Podaj ją w Hz.

f = 800 Hzf_s = 1 kHz

f_a = Hz

4.Akwizycja danych i próbkowanieTrudny

Fala prostokątna 240 Hz jest próbkowana z częstotliwością 2 kHz bez filtra antyaliasingowego. Fala prostokątna zawiera nieparzyste harmoniczne 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Przy jakiej częstotliwości f_a pojawia się w danych jej harmoniczna 7f₁? Podaj ją w Hz.

f₁ = 240 Hzf_s = 2 kHzharmoniczna: 7f₁

f_a = Hz

5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni

Wzmacniacz różnicowy wykorzystuje idealny wzmacniacz operacyjny zasilany napięciem ±15 V, przy czym R₃ = R₁ i R₄ = R₂. Wyznacz napięcie wyjściowe V_out.

V₁ = 1,2 VV₂ = 1,7 VR₁ = R₃ = 10 kΩR₂ = R₄ = 47 kΩ

V_out = V

6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny

Wzmacniacz sumujący korzysta z idealnego wzmacniacza operacyjnego zasilanego napięciem ±15 V. Wyznacz prąd I_f płynący przez rezystor sprzężenia zwrotnego w stronę wyjścia.

V₁ = −1,9 VV₂ = 0,9 VR₁ = 100 kΩR₂ = 4,7 kΩR_f = 22 kΩ

I_f = mA

7.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

8.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

9.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz prąd Nortona I_N: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

10.Thévenin i NortonTrudny

Wyznacz napięcie Thévenina V_th widziane z zacisków a–b.

V₁ = 9 VI_s = 3 AR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

3Roztwory

1.Mostek Wheatstone’a i tensometry

Odpowiedź: V_ab = 209,3 mV

Mostek Wheatstone’a: dwa dzielniki napięcia mają wspólne zasilanie V_s. Lewy dzielnik R₁–R₂ daje V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), a prawy dzielnik R₃–R₄ daje V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); wyjściem jest V_ab = V_a − V_b. Mostek jest zrównoważony (V_ab = 0, brak prądu w mierniku), gdy R₁/R₂ = R₃/R₄, czyli R₁·R₄ = R₂·R₃. Widziany od strony wyjścia mostek jest źródłem Thévenina o R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Napięcia węzłów

V_a = 6·1150/2150 = 3,209 V

V_b = 3 V

Wydalone

V_ab = 209,3 mV

Odpowiedź

V_ab = 209,3 mV

Oszacowanie liniowe V_s·ΔR/(4R) = 225 mV jest o 7,5 % za wysokie: ćwierćmostek nie jest całkiem liniowy.

2.Mostek Wheatstone’a i tensometry

Odpowiedź: σ = 300 MPa

Tensometry: tensometr zmienia rezystancję pod wpływem odkształcenia: ΔR/R = GF·ε, gdzie współczynnik czułości GF wynosi około 2 dla tensometrów foliowych metalowych. W mostku, w którym wszystkie ramiona mają rezystancję R, jeden czynny tensometr (ćwierćmostek) daje V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dwa czynne tensometry o przeciwnych odkształceniach w sąsiednich ramionach (półmostek) dają V_s·GF·ε/2, a cztery (mostek pełny) dają V_s·GF·ε. Naprężenie wynika z prawa Hooke’a, σ = E·ε. Przetworniki tensometryczne podają czułość w mV/V: napięcie wyjściowe przy pełnym obciążeniu na każdy wolt zasilania.

Odkształcenie

ε = 4·0,0075/(10·2) = 0,0015

Naprężenie

σ = 200·10³ MPa·0,0015 = 300 MPa

Odpowiedź

σ = 300 MPa

3.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: f_a = 200 Hz

Próbkowanie: ADC mierzy sygnał f_s razy na sekundę. Zgodnie z twierdzeniem Nyquista–Shannona częstotliwość f jest rejestrowana poprawnie tylko wtedy, gdy f < f_s/2, czyli poniżej częstotliwości Nyquista (zawijania), więc częstotliwość próbkowania musi przekraczać dwukrotność najwyższej częstotliwości sygnału. Wyższa częstotliwość nie przepada: pojawia się jako alias przy f_a = |f − k·f_s|, gdzie liczba całkowita k daje wynik między 0 a f_s/2. Próbki nie pozwalają odróżnić tych dwóch sygnałów, dlatego analogowy filtr antyaliasingowy musi usunąć wszystko powyżej f_s/2 przed przetwornikiem ADC.

Częstotliwość Nyquista

f_s/2 = 500 Hz < f = 800 Hz

Najbliższa wielokrotność częstotliwości próbkowania

k = round(800/1000) = 1

Częstotliwość aliasu

f_a = |800 − 1·1000| = 200 Hz

Odpowiedź

f_a = 200 Hz

Przerywana krzywa na rysunku to alias: przechodzi dokładnie przez te same próbki.

4.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: f_a = 320 Hz

Częstotliwość harmonicznej

7f₁ = 7·240 Hz = 1,68 kHz

Najbliższa wielokrotność częstotliwości próbkowania

m = round(0,84) = 1

Częstotliwość aliasu

f_a = |1680 − 1·2000| = 320 Hz

Odpowiedź

f_a = 320 Hz

Alias ląduje wewnątrz pasma sygnału, gdzie żaden filtr cyfrowy go nie usunie. Pomaga tylko filtr analogowy przed ADC.

5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: V_out = 2,35 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Napięcie na wejściach

Przez R₃ i R₄ płynie ten sam prąd, więc tworzą dzielnik napięcia; sprzężenie zwrotne sprawia, że V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,7·47/(10 + 47) = 1,402 V

V₋ = V₊

PPK na wejściu odwracającym

(1,2 − 1,402)/10 = (1,402 − V_out)/47

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (47/10)·(1,7 − 1,2) = 2,35 V

Odpowiedź

V_out = 2,35 V

6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: I_f = 0,1725 mA

Prądy wejściowe

V₋ = 0, więc na każdym rezystorze wejściowym jest całe jego napięcie wejściowe.

I₁ = V₁/R₁ = −1,9/100 = −0,019 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0,9/4,7 = 0,1915 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,1725 mA

Odpowiedź

I_f = 0,1725 mA

7.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,024 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 2 + 2 = 4 Ω

R₂ ∥ 4 = 3·4/(3+4) = 1,714 Ω

R_eq = R₁ + 1,714 = 10 + 1,714 = 11,71 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/11,71 = 1,024 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,024 A

8.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 9,336 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 20 + 3 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 6,97 Ω

R₃ + 6,97 = 10,97 Ω

R₂ ∥ 10,97 = 6,336 Ω

R_eq = R₁ + 6,336 = 3 + 6,336 = 9,336 Ω

Odpowiedź

R_eq = 9,336 Ω

9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_N = 0,2143 A

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·5/(10+5) = 3,333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,333 + 6 = 9,333 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·5/(10+5) = 2 V

Układ zastępczy Nortona

Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.

I_N = V_th/R_th = 2/9,333 = 0,2143 A

10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: V_th = 24,86 V

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·2/(5+2) = 1,429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,429 + 6 = 7,429 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2,571 + 3·1,429 = 6,857 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 6,857 + 3·6 = 24,86 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Pomiary i aparatura: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Mostek Wheatstone’a i tensometry

Metoda

Akwizycja danych i próbkowanie

Metoda

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Rezystory szeregowo i równolegle

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Napięcia węzłów

Wydalone

Odpowiedź

Odkształcenie

Naprężenie

Odpowiedź

Częstotliwość Nyquista

Najbliższa wielokrotność częstotliwości próbkowania

Częstotliwość aliasu

Odpowiedź

Częstotliwość harmonicznej

Najbliższa wielokrotność częstotliwości próbkowania

Częstotliwość aliasu

Odpowiedź

Napięcie na wejściach

PPK na wejściu odwracającym

Odpowiedź

Prądy wejściowe

Odpowiedź

Łącz rezystory od najdalszego końca

Prąd ze źródła

Odpowiedź

Łącz rezystory od najdalszego końca

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Układ zastępczy Nortona

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego