Potraktuj mostek jako dwa dzielniki napięcia na tym samym zasilaniu.
Dla równowagi przyjmij R₁/R₂ = R₃/R₄ i wyznacz nieznany rezystor.
Dla mostka niezrównoważonego wyznacz Va i Vb z dzielników i odejmij je; użyj układu zastępczego Thévenina, gdy miernik obciąża wyjście.
Dla tensometrów zamień odkształcenie na ΔR/R = GF·ε i użyj Vs·GF·ε/4, /2 lub ×1 odpowiednio dla ćwierćmostka, półmostka i mostka pełnego.
Akwizycja danych i próbkowanie
Kryterium Nyquista
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Częstotliwość aliasu
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Wielkość kroku
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Błąd kwantyzacji (zaokrąglanie)
±½ LSB
Kod ADC przy obcinaniu
D = ⌊Vin/LSB⌋
Liczba bitów dla rozdzielczości r
2ᴺ ≥ span/r
Idealny SQNR, sinusoida o pełnej skali
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Szybkość transmisji danych
kanały × fs × N bit/s
Multipleksowany przetwornik ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bitów na bajt; bajty/s = baud/bity w ramce
Dzielnik szybkości transmisji
baud = fclk/(16·D)
Metoda
Zapisz, co jest dane: częstotliwość próbkowania, częstotliwości sygnałów, liczbę bitów, zakres wejściowy, szybkość transmisji w bodach.
W zadaniach o próbkowaniu porównaj każdą częstotliwość z fs/2; wyższa częstotliwość pojawia się jako fa = |f − k·fs| dla najbliższej wielokrotności fs.
W zadaniach o rozdzielczości wyznacz 1 LSB = VFSR/2ᴺ albo najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/rozdzielczość.
W zadaniach o szybkości danych i łączach UART policz wszystko, co jest wysyłane: kanały, próbki na sekundę, bity lub całe bajty na próbkę oraz bity startu, parzystości i stopu każdej ramki.
Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi
Wzmacniacz odwracający
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Wzmacniacz nieodwracający
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Wzmacniacz sumujący
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealny wzmacniacz operacyjny
V+ = V−, Iin = 0
Rezystory szeregowo i równolegle
Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R
Metoda
Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.
Thévenin i Norton
Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metoda
Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.
2Zadania do ćwiczenia
1.Mostek Wheatstone’a i tensometryŚredni
Mostek ma cztery ramiona 1000 Ω i Vs = 12 V. Czujnik R₂ zwiększa się o ΔR = 200 Ω. Wyznacz dokładne napięcie wyjściowe Vab w mV.
Vs = 12 VR = 1000 ΩΔR = 200 Ω
Vab = mV
2.Mostek Wheatstone’a i tensometryTrudny
Mostek z ramionami 350 Ω jest zasilany napięciem 5 V i ma jeden czynny tensometr (ćwierćmostek). Współczynnik czułości wynosi 2, a odkształcenie 800 µε. Wyznacz napięcie wyjściowe mostka Vo w mV.
Vs = 5 VGF = 2ε = 800 µε
Vo = mV
3.Akwizycja danych i próbkowanieŚredni
Sinusoida 13,5 kHz jest próbkowana z częstotliwością 10 kHz bez filtra antyaliasingowego. Przy jakiej częstotliwości fa pojawia się w próbkach? Podaj ją w kHz.
f = 13,5 kHzfs = 10 kHz
fa = kHz
4.Akwizycja danych i próbkowanieTrudny
Czujnik temperatury daje 5 mV/°C (0 V przy 0 °C). Jego sygnał jest wzmacniany 10 razy i podawany na 10-bitowy ADC o zakresie od 0 do 5 V (1 LSB = VFSR/2ᴺ). Wyznacz zmianę temperatury ΔTLSB odpowiadającą jednemu LSB.
S = 5 mV/°CG = 10N = 10VFSR = 5 V
ΔTLSB = °C
5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni
Wzmacniacz operacyjny jest idealny i zasilany napięciem ±15 V; jego wyjście nasyca się przy ±13 V. Wzmacniacz odwracający jest pobudzany sygnałem sinusoidalnym. Wyznacz największą amplitudę wejściową Vin,max (wartość szczytową), przy której wyjście nie jest obcinane.
R1 = 22 kΩRf = 47 kΩVsat = ±13 V
Vin,max = V
6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny
Wzmacniacz sumujący korzysta z idealnego wzmacniacza operacyjnego zasilanego napięciem ±15 V. Wyznacz prąd If płynący przez rezystor sprzężenia zwrotnego w stronę wyjścia.
Mostek Wheatstone’a: dwa dzielniki napięcia mają wspólne zasilanie Vs. Lewy dzielnik R1–R2 daje Va = Vs·R2/(R1 + R2), a prawy dzielnik R3–R4 daje Vb = Vs·R4/(R3 + R4); wyjściem jest Vab = Va − Vb. Mostek jest zrównoważony (Vab = 0, brak prądu w mierniku), gdy R1/R2 = R3/R4, czyli R1·R4 = R2·R3. Widziany od strony wyjścia mostek jest źródłem Thévenina o Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Napięcia węzłów
Va = 12·1200/2200 = 6,545 V
Vb = 6 V
Wydalone
Vab = 545,5 mV
Odpowiedź
Vab = 545,5 mV
Oszacowanie liniowe Vs·ΔR/(4R) = 600 mV jest o 10 % za wysokie: ćwierćmostek nie jest całkiem liniowy.
2.Mostek Wheatstone’a i tensometry
Odpowiedź: Vo = 2 mV
Tensometry: tensometr zmienia rezystancję pod wpływem odkształcenia: ΔR/R = GF·ε, gdzie współczynnik czułości GF wynosi około 2 dla tensometrów foliowych metalowych. W mostku, w którym wszystkie ramiona mają rezystancję R, jeden czynny tensometr (ćwierćmostek) daje Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dwa czynne tensometry o przeciwnych odkształceniach w sąsiednich ramionach (półmostek) dają Vs·GF·ε/2, a cztery (mostek pełny) dają Vs·GF·ε. Naprężenie wynika z prawa Hooke’a, σ = E·ε. Przetworniki tensometryczne podają czułość w mV/V: napięcie wyjściowe przy pełnym obciążeniu na każdy wolt zasilania.
Względna zmiana rezystancji
ΔR/R = 2·800·10⁻⁶ = 0,0016
Napięcie wyjściowe mostka
Vo ≈ Vs·GF·ε/4 = 5·0,0016/4 = 2 mV
Odpowiedź
Vo = 2 mV
3.Akwizycja danych i próbkowanie
Odpowiedź: fa = 3,5 kHz
Próbkowanie: ADC mierzy sygnał fs razy na sekundę. Zgodnie z twierdzeniem Nyquista–Shannona częstotliwość f jest rejestrowana poprawnie tylko wtedy, gdy f < fs/2, czyli poniżej częstotliwości Nyquista (zawijania), więc częstotliwość próbkowania musi przekraczać dwukrotność najwyższej częstotliwości sygnału. Wyższa częstotliwość nie przepada: pojawia się jako alias przy fa = |f − k·fs|, gdzie liczba całkowita k daje wynik między 0 a fs/2. Próbki nie pozwalają odróżnić tych dwóch sygnałów, dlatego analogowy filtr antyaliasingowy musi usunąć wszystko powyżej fs/2 przed przetwornikiem ADC.
Przerywana krzywa na rysunku to alias: przechodzi dokładnie przez te same próbki.
4.Akwizycja danych i próbkowanie
Odpowiedź: ΔTLSB = 0,09766 °C
Rozdzielczość ADC: N-bitowy przetwornik dzieli swój zakres pełnej skali VFSR na 2ᴺ kodów, od 0 do 2ᴺ − 1. Jeden krok to 1 LSB = VFSR/2ᴺ: najmniejsza zmiana, jaką przetwornik potrafi pokazać. ADC z obcinaniem podaje kod ⌊Vin/LSB⌋; ADC z zaokrąglaniem nigdy nie odbiega od prawdziwej wartości o więcej niż ½ LSB, co jest jego błędem kwantyzacji. Każdy dodatkowy bit zmniejsza LSB o połowę i dodaje około 6 dB do idealnego stosunku sygnału do szumu kwantyzacji SQNR = 6,02·N + 1,76 dB dla sinusoidy o pełnej skali. Aby osiągnąć rozdzielczość r na danym zakresie, wybierz najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/r.
Wielkość kroku
1 LSB = 5000/1024 = 4,883 mV
Czułość na wejściu ADC
5·10 = 50 mV/°C
Rozdzielczość temperaturowa
ΔTLSB = 4,883/50 = 0,09766 °C
Odpowiedź
ΔTLSB = 0,09766 °C
ADC osiąga pełną skalę przy 100 °C.
5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi
Odpowiedź: Vin,max = 6,085 V
Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.
Wzmocnienie
|Av| = Rf/R1 = 47/22 = 2,136
Największe wejście przed obcinaniem
Vin,max = Vsat/|Av| = 13/2,136 = 6,085 V
Odpowiedź
Vin,max = 6,085 V
6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi
Odpowiedź: If = 0,4185 mA
Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.
Prądy wejściowe
V₋ = 0, więc na każdym rezystorze wejściowym jest całe jego napięcie wejściowe.
I1 = V1/R1 = 2/4,7 = 0,4255 mA
I2 = V2/R2 = −0,7/100 = −0,007 mA
If = I1 + I2 = 0,4185 mA
Odpowiedź
If = 0,4185 mA
7.Rezystory szeregowo i równolegle
Odpowiedź: Req = 11,06 Ω
Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.
Łącz rezystory od najdalszego końca
Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.
R3 + R4 = 15 + 10 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 8·25/(8+25) = 6,061 Ω
Req = R1 + 6,061 = 5 + 6,061 = 11,06 Ω
Odpowiedź
Req = 11,06 Ω
8.Rezystory szeregowo i równolegle
Odpowiedź: IR1 = 1,004 A
Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.
Łącz rezystory od najdalszego końca
Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.
R5 + R6 = 2 + 8 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 6 Ω
R3 + 6 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 2,933 Ω
Req = R1 + 2,933 = 15 + 2,933 = 17,93 Ω
Prąd ze źródła
Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.
IR1 = V1/Req = 18/17,93 = 1,004 A
Odpowiedź
IR1 = 1,004 A
9.Thévenin i Norton
Odpowiedź: IN = 0,5 A
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 6·3/(6+3) = 2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2 + 4 = 6 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·3/(6+3) = 3 V
Układ zastępczy Nortona
Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.
IN = Vth/Rth = 3/6 = 0,5 A
10.Thévenin i Norton
Odpowiedź: IL = 0,384 A
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 3·4/(3+4) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 4 = 5,714 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5,143 + 1,5·1,714 = 7,714 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 7,714 + 1,5·4 = 13,71 V
Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina
Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.
IL = Vth/(Rth + RL) = 13,71/(5,714 + 30) = 0,384 A