Pomiary i aparatura: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Mostek Wheatstone’a i tensometry

Napięcia dzielników: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Wydalone: V_ab = V_a − V_b
Bilans: R₁/R₂ = R₃/R₄
Mostek z drutem oporowym: R/R_x = l/(100 − l)
Rezystancja Thévenina: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Współczynnik czułości: ΔR/R = GF·ε
Napięcie wyjściowe mostka: ćwierćmostek V_s·GF·ε/4, półmostek V_s·GF·ε/2, mostek pełny V_s·GF·ε
Mała zmiana, jedno ramię: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Naprężenie: σ = E·ε

Metoda

Potraktuj mostek jako dwa dzielniki napięcia na tym samym zasilaniu.
Dla równowagi przyjmij R₁/R₂ = R₃/R₄ i wyznacz nieznany rezystor.
Dla mostka niezrównoważonego wyznacz V_a i V_b z dzielników i odejmij je; użyj układu zastępczego Thévenina, gdy miernik obciąża wyjście.
Dla tensometrów zamień odkształcenie na ΔR/R = GF·ε i użyj V_s·GF·ε/4, /2 lub ×1 odpowiednio dla ćwierćmostka, półmostka i mostka pełnego.

Akwizycja danych i próbkowanie

Kryterium Nyquista: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Częstotliwość aliasu: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Wielkość kroku: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Błąd kwantyzacji (zaokrąglanie): ±½ LSB
Kod ADC przy obcinaniu: D = ⌊V_in/LSB⌋
Liczba bitów dla rozdzielczości r: 2ᴺ ≥ span/r
Idealny SQNR, sinusoida o pełnej skali: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Szybkość transmisji danych: kanały × f_s × N bit/s
Multipleksowany przetwornik ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bitów na bajt; bajty/s = baud/bity w ramce
Dzielnik szybkości transmisji: baud = f_clk/(16·D)

Metoda

Zapisz, co jest dane: częstotliwość próbkowania, częstotliwości sygnałów, liczbę bitów, zakres wejściowy, szybkość transmisji w bodach.
W zadaniach o próbkowaniu porównaj każdą częstotliwość z f_s/2; wyższa częstotliwość pojawia się jako f_a = |f − k·f_s| dla najbliższej wielokrotności f_s.
W zadaniach o rozdzielczości wyznacz 1 LSB = V_FSR/2ᴺ albo najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/rozdzielczość.
W zadaniach o szybkości danych i łączach UART policz wszystko, co jest wysyłane: kanały, próbki na sekundę, bity lub całe bajty na próbkę oraz bity startu, parzystości i stopu każdej ramki.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Wzmacniacz nieodwracający: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Wzmacniacz sumujący: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Idealny wzmacniacz operacyjny: V₊ = V₋, I_in = 0

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Mostek Wheatstone’a i tensometryŚredni

Galwanometr o rezystancji 100 Ω dołączono między a i b pokazanego mostka (V_s = 5 V). Wyznacz prąd galwanometru I_g od a do b, w µA.

V_s = 5 VR₁ = 400 ΩR₂ = 300 ΩR₃ = 120 ΩR₄ = 250 ΩR_g = 100 Ω

I_g = µA

2.Mostek Wheatstone’a i tensometryTrudny

Mostek z ramionami 350 Ω jest zasilany napięciem 10 V i ma jeden czynny tensometr (ćwierćmostek). Współczynnik czułości wynosi 2,12, a odkształcenie 750 µε. Wyznacz napięcie wyjściowe mostka V_o w mV.

V_s = 10 VGF = 2,12ε = 750 µε

V_o = mV

3.Akwizycja danych i próbkowanieŚredni

UART wysyła bajty z prędkością 9600 bodów w formacie 8E1: 8 bitów danych, bit parzystości (even), bit startu oraz bity stopu w liczbie 1. Wyznacz największą liczbę bajtów danych na sekundę, jaką może przesłać.

baud = 9600 Bd8E1

R_B = B/s

4.Akwizycja danych i próbkowanieTrudny

Mikrokontroler z zegarem 20 MHz ustawia szybkość transmisji UART jako f_clk/(16·D), gdzie D jest liczbą całkowitą zaokrągloną do najbliższej wartości. Szybkość docelowa to 9600 bodów. Wyznacz procentowy błąd rzeczywistej szybkości transmisji (dodatni, gdy jest za duża).

f_clk = 20 MHzwartość docelowa = 9600 Bd

e = %

5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni

Wzmacniacz różnicowy wykorzystuje idealny wzmacniacz operacyjny zasilany napięciem ±15 V, przy czym R₃ = R₁ i R₄ = R₂. Wyznacz napięcie wyjściowe V_out.

V₁ = 2,1 VV₂ = 2,8 VR₁ = R₃ = 2 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V_out = V

6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny

Układ całkujący wykorzystuje idealny wzmacniacz operacyjny zasilany napięciem ±15 V; jego wyjście nasyca się przy ±14 V. Kondensator jest rozładowany, gdy w t = 0 zostaje przyłożone stałe napięcie wejściowe V_in = 1,1 V. Wyznacz napięcie wyjściowe V_out w chwili t = 200 ms.

V_in = 1,1 VR = 47 kΩC = 0,47 µFV_sat = ±14 Vt = 200 ms

V_out = V

7.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

8.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

9.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz prąd Nortona I_N: prąd płynący od a do b, gdy zaciski są zwarte.

V₁ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

10.Thévenin i NortonTrudny

Wyznacz napięcie Thévenina V_th widziane z zacisków a–b.

V₁ = 6 VI_s = 5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 Ω

V_th = V

3Roztwory

1.Mostek Wheatstone’a i tensometry

Odpowiedź: I_g = −3505 µA

Mostek Wheatstone’a: dwa dzielniki napięcia mają wspólne zasilanie V_s. Lewy dzielnik R₁–R₂ daje V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), a prawy dzielnik R₃–R₄ daje V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); wyjściem jest V_ab = V_a − V_b. Mostek jest zrównoważony (V_ab = 0, brak prądu w mierniku), gdy R₁/R₂ = R₃/R₄, czyli R₁·R₄ = R₂·R₃. Widziany od strony wyjścia mostek jest źródłem Thévenina o R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Napięcie Thévenina

V_th = 5·(300/700 − 250/370) = −1,236 V

Rezystancja Thévenina

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 252,5 Ω

Prąd galwanometru

I_g = −1,236/(252,5 + 100) = −3505 µA

Odpowiedź

I_g = −3505 µA

2.Mostek Wheatstone’a i tensometry

Odpowiedź: V_o = 3,975 mV

Tensometry: tensometr zmienia rezystancję pod wpływem odkształcenia: ΔR/R = GF·ε, gdzie współczynnik czułości GF wynosi około 2 dla tensometrów foliowych metalowych. W mostku, w którym wszystkie ramiona mają rezystancję R, jeden czynny tensometr (ćwierćmostek) daje V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dwa czynne tensometry o przeciwnych odkształceniach w sąsiednich ramionach (półmostek) dają V_s·GF·ε/2, a cztery (mostek pełny) dają V_s·GF·ε. Naprężenie wynika z prawa Hooke’a, σ = E·ε. Przetworniki tensometryczne podają czułość w mV/V: napięcie wyjściowe przy pełnym obciążeniu na każdy wolt zasilania.

Względna zmiana rezystancji

ΔR/R = 2,12·750·10⁻⁶ = 0,00159

Napięcie wyjściowe mostka

V_o ≈ V_s·GF·ε/4 = 10·0,00159/4 = 3,975 mV

Odpowiedź

V_o = 3,975 mV

3.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: R_B = 872,7 B/s

UART: asynchroniczne łącze szeregowe wysyła każdy bajt w ramce: jeden bit startu (niski), bity danych, opcjonalny bit parzystości i jeden lub dwa bity stopu (wysokie). Szybkość transmisji w bodach to liczba bitów na sekundę, więc jeden bit trwa T_b = 1/baud, a ramka n bitów trwa n/baud. Popularny format 8N1 ma 10 bitów na bajt. Generator szybkości transmisji dzieli zegar: baud = f_clk/(16·D) dla liczby całkowitej D, więc rzeczywista szybkość nieco różni się od zamierzonej; błąd poniżej około 2 % zwykle jest akceptowalny.

Bity w ramce

1 + 8 + 1 + 1 = 11

Strumień bajtów

9600/11 = 872,7 B/s

Odpowiedź

R_B = 872,7 B/s

4.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: e = 0,1603 %

Dzielnik

D = 20·10⁶/(16·9600) = 130,2 → 130

Rzeczywista szybkość transmisji

20·10⁶/(16·130) = 9615 Bd

Błąd

(9615 − 9600)/9600·100 = 0,1603 %

Odpowiedź

e = 0,1603 %

Błąd poniżej około 2 % zwykle jest akceptowalny.

5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: V_out = 3,5 V

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Napięcie na wejściach

Przez R₃ i R₄ płynie ten sam prąd, więc tworzą dzielnik napięcia; sprzężenie zwrotne sprawia, że V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 2,8·10/(2 + 10) = 2,333 V

V₋ = V₊

PPK na wejściu odwracającym

(2,1 − 2,333)/2 = (2,333 − V_out)/10

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (10/2)·(2,8 − 2,1) = 3,5 V

Odpowiedź

V_out = 3,5 V

6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: V_out = −9,959 V

Prąd wejściowy i szybkość narastania

kΩ razy µF daje milisekundy.

RC = 47 kΩ · 0,47 µF = 22,09 ms

szybkość narastania = −V_in/(RC) = −1,1/22,09 = −0,0498 V/ms

Wyjście w podanej chwili

Wartość idealna leży w granicach ±V_sat, więc układ całkujący jeszcze nie obcina.

V_out = −V_in·t/(RC) = −1,1·200/22,09 = −9,959 V

Odpowiedź

V_out = −9,959 V

7.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,5469 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 8 + 6 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 15·14/(15+14) = 7,241 Ω

R_eq = R₁ + 7,241 = 6 + 7,241 = 13,24 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/13,24 = 1,133 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,133·6 = 8,203 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,203/15 = 0,5469 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,5469 A

8.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,866 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 8 + 5 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 3,611 Ω

R₃ + 3,611 = 18,61 Ω

R₂ ∥ 18,61 = 7,296 Ω

R_eq = R₁ + 7,296 = 12 + 7,296 = 19,3 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/19,3 = 1,866 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,866 A

9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_N = 0,7692 A

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·15/(4+15) = 3,158 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,158 + 3 = 6,158 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·15/(4+15) = 4,737 V

Układ zastępczy Nortona

Źródło Nortona to ten sam obwód widziany jako źródło prądu równolegle z R_th. Jego prąd to prąd zwarcia na a–b.

I_N = V_th/R_th = 4,737/6,158 = 0,7692 A

10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: V_th = 29,44 V

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·5/(4+5) = 2,222 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,222 + 3 = 5,222 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3,333 + 5·2,222 = 14,44 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 14,44 + 5·3 = 29,44 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Pomiary i aparatura: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Mostek Wheatstone’a i tensometry

Metoda

Akwizycja danych i próbkowanie

Metoda

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Rezystory szeregowo i równolegle

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Napięcie Thévenina

Rezystancja Thévenina

Prąd galwanometru

Odpowiedź

Względna zmiana rezystancji

Napięcie wyjściowe mostka

Odpowiedź

Bity w ramce

Strumień bajtów

Odpowiedź

Dzielnik

Rzeczywista szybkość transmisji

Błąd

Odpowiedź

Napięcie na wejściach

PPK na wejściu odwracającym

Odpowiedź

Prąd wejściowy i szybkość narastania

Wyjście w podanej chwili

Odpowiedź

Łącz rezystory od najdalszego końca

Prąd ze źródła

Prąd przez R₂

Odpowiedź

Łącz rezystory od najdalszego końca

Prąd ze źródła

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Układ zastępczy Nortona

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego