Pomiary i aparatura: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Mostek Wheatstone’a i tensometry

Napięcia dzielników: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Wydalone: V_ab = V_a − V_b
Bilans: R₁/R₂ = R₃/R₄
Mostek z drutem oporowym: R/R_x = l/(100 − l)
Rezystancja Thévenina: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Współczynnik czułości: ΔR/R = GF·ε
Napięcie wyjściowe mostka: ćwierćmostek V_s·GF·ε/4, półmostek V_s·GF·ε/2, mostek pełny V_s·GF·ε
Mała zmiana, jedno ramię: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Naprężenie: σ = E·ε

Metoda

Potraktuj mostek jako dwa dzielniki napięcia na tym samym zasilaniu.
Dla równowagi przyjmij R₁/R₂ = R₃/R₄ i wyznacz nieznany rezystor.
Dla mostka niezrównoważonego wyznacz V_a i V_b z dzielników i odejmij je; użyj układu zastępczego Thévenina, gdy miernik obciąża wyjście.
Dla tensometrów zamień odkształcenie na ΔR/R = GF·ε i użyj V_s·GF·ε/4, /2 lub ×1 odpowiednio dla ćwierćmostka, półmostka i mostka pełnego.

Akwizycja danych i próbkowanie

Kryterium Nyquista: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Częstotliwość aliasu: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Wielkość kroku: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Błąd kwantyzacji (zaokrąglanie): ±½ LSB
Kod ADC przy obcinaniu: D = ⌊V_in/LSB⌋
Liczba bitów dla rozdzielczości r: 2ᴺ ≥ span/r
Idealny SQNR, sinusoida o pełnej skali: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Szybkość transmisji danych: kanały × f_s × N bit/s
Multipleksowany przetwornik ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bitów na bajt; bajty/s = baud/bity w ramce
Dzielnik szybkości transmisji: baud = f_clk/(16·D)

Metoda

Zapisz, co jest dane: częstotliwość próbkowania, częstotliwości sygnałów, liczbę bitów, zakres wejściowy, szybkość transmisji w bodach.
W zadaniach o próbkowaniu porównaj każdą częstotliwość z f_s/2; wyższa częstotliwość pojawia się jako f_a = |f − k·f_s| dla najbliższej wielokrotności f_s.
W zadaniach o rozdzielczości wyznacz 1 LSB = V_FSR/2ᴺ albo najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/rozdzielczość.
W zadaniach o szybkości danych i łączach UART policz wszystko, co jest wysyłane: kanały, próbki na sekundę, bity lub całe bajty na próbkę oraz bity startu, parzystości i stopu każdej ramki.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Wzmacniacz nieodwracający: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Wzmacniacz sumujący: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Idealny wzmacniacz operacyjny: V₊ = V₋, I_in = 0

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Mostek Wheatstone’a i tensometryŚredni

Mostek z czterema ramionami 100 Ω jest zasilany napięciem 9 V. Gdy czujnik R₂ się zmienia, wyjście wskazuje V_ab = 214,3 mV. Wyznacz dokładną zmianę ΔR rezystancji R₂.

V_s = 9 VR = 100 ΩV_ab = 214,3 mV

ΔR = Ω

2.Mostek Wheatstone’a i tensometryTrudny

Przetwornik tensometryczny (pełny mostek tensometrów) ma znamionowe napięcie wyjściowe 1,5 mV/V przy znamionowym obciążeniu 500 kg. Jest zasilany napięciem 12 V. Wyznacz jego napięcie wyjściowe V_o przy obciążeniu 300 kg.

1,5 mV/VF_rated = 500 kgV_s = 12 VF = 300 kg

V_o = mV

3.Akwizycja danych i próbkowanieŚredni

10-bitowy ADC o zakresie wejściowym od 0 do 3,3 V obcina: jego kod wyjściowy to ⌊V_in/LSB⌋, gdzie 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Wyznacz dziesiętny kod wyjściowy D dla napięcia wejściowego 1,517 V.

N = 10V_FSR = 3,3 VV_in = 1,517 V

D =

4.Akwizycja danych i próbkowanieTrudny

Pomiar dźwięku wymaga idealnego stosunku sygnału do szumu kwantyzacji co najmniej 85 dB dla sinusoidy o pełnej skali. Wyznacz najmniejszą liczbę bitów ADC N.

SQNR ≥ 85 dB

N =

5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni

Dobierz rezystor sprzężenia zwrotnego R_f, który da temu wzmacniaczowi nieodwracającemu wzmocnienie napięciowe 8.

R₁ = 1 kΩA_v = 8

R_f = kΩ

6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny

Wzmacniacz operacyjny jest idealny i zasilany napięciem ±15 V. Stosunki rezystorów nie są dopasowane. Wyznacz napięcie wyjściowe V_out.

V₁ = 1,2 VV₂ = −1,8 VR₁ = 100 kΩR₂ = 47 kΩR₃ = 100 kΩR₄ = 10 kΩ

V_out = V

7.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

8.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

9.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz napięcie Thévenina V_th widziane z zacisków a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

10.Thévenin i NortonTrudny

Między a–b podłączono obciążenie R_L = 12 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia I_L.

V₁ = 10 VI_s = 0,5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

3Roztwory

1.Mostek Wheatstone’a i tensometry

Odpowiedź: ΔR = 10 Ω

Mostek Wheatstone’a: dwa dzielniki napięcia mają wspólne zasilanie V_s. Lewy dzielnik R₁–R₂ daje V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), a prawy dzielnik R₃–R₄ daje V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); wyjściem jest V_ab = V_a − V_b. Mostek jest zrównoważony (V_ab = 0, brak prądu w mierniku), gdy R₁/R₂ = R₃/R₄, czyli R₁·R₄ = R₂·R₃. Widziany od strony wyjścia mostek jest źródłem Thévenina o R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Napięcie węzła

V_a = 4,5 + 0,2143 = 4,714 V

Rozwiąż dzielnik

R₂ = 100·4,714/(9 − 4,714) = 110 Ω

ΔR = 110 − 100 = 10 Ω

Odpowiedź

ΔR = 10 Ω

2.Mostek Wheatstone’a i tensometry

Odpowiedź: V_o = 10,8 mV

Tensometry: tensometr zmienia rezystancję pod wpływem odkształcenia: ΔR/R = GF·ε, gdzie współczynnik czułości GF wynosi około 2 dla tensometrów foliowych metalowych. W mostku, w którym wszystkie ramiona mają rezystancję R, jeden czynny tensometr (ćwierćmostek) daje V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dwa czynne tensometry o przeciwnych odkształceniach w sąsiednich ramionach (półmostek) dają V_s·GF·ε/2, a cztery (mostek pełny) dają V_s·GF·ε. Naprężenie wynika z prawa Hooke’a, σ = E·ε. Przetworniki tensometryczne podają czułość w mV/V: napięcie wyjściowe przy pełnym obciążeniu na każdy wolt zasilania.

Napięcie wyjściowe przy pełnym zakresie

1,5·12 = 18 mV

Napięcie wyjściowe przy tym obciążeniu

V_o = 18·300/500 = 10,8 mV

Odpowiedź

V_o = 10,8 mV

3.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: D = 470

Rozdzielczość ADC: N-bitowy przetwornik dzieli swój zakres pełnej skali V_FSR na 2ᴺ kodów, od 0 do 2ᴺ − 1. Jeden krok to 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: najmniejsza zmiana, jaką przetwornik potrafi pokazać. ADC z obcinaniem podaje kod ⌊V_in/LSB⌋; ADC z zaokrąglaniem nigdy nie odbiega od prawdziwej wartości o więcej niż ½ LSB, co jest jego błędem kwantyzacji. Każdy dodatkowy bit zmniejsza LSB o połowę i dodaje około 6 dB do idealnego stosunku sygnału do szumu kwantyzacji SQNR = 6,02·N + 1,76 dB dla sinusoidy o pełnej skali. Aby osiągnąć rozdzielczość r na danym zakresie, wybierz najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/r.

Wielkość kroku

1 LSB = 3,3/2¹⁰ = 3,223 mV

Kod

V_in/LSB = 1517/3,223 = 470,7

kod = ⌊470,7⌋ = 470

Odpowiedź

D = 470

Zapisany dwójkowo to 0111010110.

4.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: N = 14

Rozwiąż względem N

N ≥ (85 − 1,76)/6,02 = 13,83

Zaokrąglij w górę

N = 14

sprawdzenie: 6,02·14 + 1,76 = 86,04 dB ≥ 85 dB

Odpowiedź

N = 14

5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: R_f = 7 kΩ

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Wzmocnienie wzmacniacza nieodwracającego

V₋ = V₊ = V_in, a prąd przez R₁ płynie też przez R_f, więc V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (8 − 1)·1 = 7 kΩ

Odpowiedź

R_f = 7 kΩ

6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: V_out = −0,8045 V

Napięcie na wejściu +

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = −1,8·10/(100 + 10) = −0,1636 V

Superpozycja obu wejść

Przy V₂ = 0 V₁ widzi wzmacniacz odwracający. Przy V₁ = 0 V₊ jest wzmacniane przez wzmocnienie nieodwracające 1 + R₂/R₁.

V_out = −(47/100)·1,2 + (1 + 47/100)·(−0,1636) = −0,564 + (−0,2405) = −0,8045 V

Odpowiedź

V_out = −0,8045 V

7.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 6,958 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 15 + 4 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 5·19/(5+19) = 3,958 Ω

R_eq = R₁ + 3,958 = 3 + 3,958 = 6,958 Ω

Odpowiedź

R_eq = 6,958 Ω

8.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,7643 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 12 + 5 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 10,12 Ω

R₃ + 10,12 = 14,12 Ω

R₂ ∥ 14,12 = 3,117 Ω

R_eq = R₁ + 3,117 = 3 + 3,117 = 6,117 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/6,117 = 0,9809 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,9809·3 = 3,057 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,057/4 = 0,7643 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,7643 A

9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: V_th = 2,857 V

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·2/(5+2) = 1,429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,429 + 6 = 7,429 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·2/(5+2) = 2,857 V

10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_L = 0,2778 A

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·3/(15+3) = 2,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,5 + 5 = 7,5 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1,667 + 0,5·2,5 = 2,917 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 2,917 + 0,5·5 = 5,417 V

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 5,417/(7,5 + 12) = 0,2778 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Pomiary i aparatura: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Mostek Wheatstone’a i tensometry

Metoda

Akwizycja danych i próbkowanie

Metoda

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Rezystory szeregowo i równolegle

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Napięcie węzła

Rozwiąż dzielnik

Odpowiedź

Napięcie wyjściowe przy pełnym zakresie

Napięcie wyjściowe przy tym obciążeniu

Odpowiedź

Wielkość kroku

Kod

Odpowiedź

Rozwiąż względem N

Zaokrąglij w górę

Odpowiedź

Wzmocnienie wzmacniacza nieodwracającego

Odpowiedź

Napięcie na wejściu +

Superpozycja obu wejść

Odpowiedź

Łącz rezystory od najdalszego końca

Odpowiedź

Łącz rezystory od najdalszego końca

Prąd ze źródła

Prąd przez R₂

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego