Pomiary i aparatura: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Mostek Wheatstone’a i tensometry

Napięcia dzielników: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Wydalone: V_ab = V_a − V_b
Bilans: R₁/R₂ = R₃/R₄
Mostek z drutem oporowym: R/R_x = l/(100 − l)
Rezystancja Thévenina: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Współczynnik czułości: ΔR/R = GF·ε
Napięcie wyjściowe mostka: ćwierćmostek V_s·GF·ε/4, półmostek V_s·GF·ε/2, mostek pełny V_s·GF·ε
Mała zmiana, jedno ramię: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Naprężenie: σ = E·ε

Metoda

Potraktuj mostek jako dwa dzielniki napięcia na tym samym zasilaniu.
Dla równowagi przyjmij R₁/R₂ = R₃/R₄ i wyznacz nieznany rezystor.
Dla mostka niezrównoważonego wyznacz V_a i V_b z dzielników i odejmij je; użyj układu zastępczego Thévenina, gdy miernik obciąża wyjście.
Dla tensometrów zamień odkształcenie na ΔR/R = GF·ε i użyj V_s·GF·ε/4, /2 lub ×1 odpowiednio dla ćwierćmostka, półmostka i mostka pełnego.

Akwizycja danych i próbkowanie

Kryterium Nyquista: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Częstotliwość aliasu: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Wielkość kroku: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Błąd kwantyzacji (zaokrąglanie): ±½ LSB
Kod ADC przy obcinaniu: D = ⌊V_in/LSB⌋
Liczba bitów dla rozdzielczości r: 2ᴺ ≥ span/r
Idealny SQNR, sinusoida o pełnej skali: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Szybkość transmisji danych: kanały × f_s × N bit/s
Multipleksowany przetwornik ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bitów na bajt; bajty/s = baud/bity w ramce
Dzielnik szybkości transmisji: baud = f_clk/(16·D)

Metoda

Zapisz, co jest dane: częstotliwość próbkowania, częstotliwości sygnałów, liczbę bitów, zakres wejściowy, szybkość transmisji w bodach.
W zadaniach o próbkowaniu porównaj każdą częstotliwość z f_s/2; wyższa częstotliwość pojawia się jako f_a = |f − k·f_s| dla najbliższej wielokrotności f_s.
W zadaniach o rozdzielczości wyznacz 1 LSB = V_FSR/2ᴺ albo najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/rozdzielczość.
W zadaniach o szybkości danych i łączach UART policz wszystko, co jest wysyłane: kanały, próbki na sekundę, bity lub całe bajty na próbkę oraz bity startu, parzystości i stopu każdej ramki.

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wzmacniacz odwracający: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Wzmacniacz nieodwracający: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Wzmacniacz sumujący: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Idealny wzmacniacz operacyjny: V₊ = V₋, I_in = 0

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Thévenin i Norton

Napięcie Thévenina: V_th = V_{open circuit}
Rezystancja Thévenina: R_th: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona: I_N = V_th/R_th
Prąd obciążenia: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maksymalne przekazywanie mocy: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metoda

Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest V_th.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest R_th.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: V_th szeregowo z R_th.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: I_N = V_th/R_th, z R_N = R_th równolegle.

2Zadania do ćwiczenia

1.Mostek Wheatstone’a i tensometryŚredni

Tensometr 100 Ω jest jednym ramieniem (R₂) mostka z czterema jednakowymi ramionami 100 Ω i zasilaniem 5 V. Wyznacz moc P_g wydzielaną w tensometrze, w mW. Samonagrzewanie ogranicza zasilanie.

V_s = 5 VR = 100 Ω

P_g = mW

2.Mostek Wheatstone’a i tensometryTrudny

Mostek z ramionami 350 Ω jest zasilany napięciem 2,5 V i ma cztery czynne tensometry, dwa rozciągane i dwa ściskane (mostek pełny). Współczynnik czułości wynosi 2, a odkształcenie 600 µε. Wyznacz napięcie wyjściowe mostka V_o w mV.

V_s = 2,5 VGF = 2ε = 600 µε

V_o = mV

3.Akwizycja danych i próbkowanieŚredni

Rejestrator próbkuje jeden kanał z częstotliwością 10 kHz, używając 12-bitowego ADC. Każda próbka jest zapisywana w całych bajtach. Wyznacz pamięć M potrzebną na zapis trwający 1 min, w MB (1 MB = 10⁶ bajtów).

n = 1f_s = 10 kHzN = 12t = 1 min

M = MB

4.Akwizycja danych i próbkowanieTrudny

Mikrokontroler z zegarem 12 MHz ustawia szybkość transmisji UART jako f_clk/(16·D), gdzie D jest liczbą całkowitą zaokrągloną do najbliższej wartości. Szybkość docelowa to 38400 bodów. Wyznacz procentowy błąd rzeczywistej szybkości transmisji (dodatni, gdy jest za duża).

f_clk = 12 MHzwartość docelowa = 38400 Bd

e = %

5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni

Dobierz rezystor sprzężenia zwrotnego R_f, który da temu wzmacniaczowi nieodwracającemu wzmocnienie napięciowe 6.

R₁ = 100 kΩA_v = 6

R_f = kΩ

6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny

Wzmacniacz sumujący korzysta z idealnego wzmacniacza operacyjnego zasilanego napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe V_out.

V₁ = 1,8 VV₂ = −1,6 VR₁ = 1 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

7.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

8.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

9.Thévenin i NortonŚredni

Wyznacz rezystancję Thévenina R_th widzianą z zacisków a–b.

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin i NortonTrudny

Między a–b podłączono obciążenie R_L = 20 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia I_L.

V₁ = 12 VI_s = 6 AR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

3Roztwory

1.Mostek Wheatstone’a i tensometry

Odpowiedź: P_g = 62,5 mW

Mostek Wheatstone’a: dwa dzielniki napięcia mają wspólne zasilanie V_s. Lewy dzielnik R₁–R₂ daje V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂), a prawy dzielnik R₃–R₄ daje V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); wyjściem jest V_ab = V_a − V_b. Mostek jest zrównoważony (V_ab = 0, brak prądu w mierniku), gdy R₁/R₂ = R₃/R₄, czyli R₁·R₄ = R₂·R₃. Widziany od strony wyjścia mostek jest źródłem Thévenina o R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Napięcie na tensometrze

V = 5/2 = 2,5 V

Moc

P_g = 2,5²/100 = 62,5 mW

Odpowiedź

P_g = 62,5 mW

2.Mostek Wheatstone’a i tensometry

Odpowiedź: V_o = 3 mV

Tensometry: tensometr zmienia rezystancję pod wpływem odkształcenia: ΔR/R = GF·ε, gdzie współczynnik czułości GF wynosi około 2 dla tensometrów foliowych metalowych. W mostku, w którym wszystkie ramiona mają rezystancję R, jeden czynny tensometr (ćwierćmostek) daje V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dwa czynne tensometry o przeciwnych odkształceniach w sąsiednich ramionach (półmostek) dają V_s·GF·ε/2, a cztery (mostek pełny) dają V_s·GF·ε. Naprężenie wynika z prawa Hooke’a, σ = E·ε. Przetworniki tensometryczne podają czułość w mV/V: napięcie wyjściowe przy pełnym obciążeniu na każdy wolt zasilania.

Względna zmiana rezystancji

ΔR/R = 2·600·10⁻⁶ = 0,0012

Napięcie wyjściowe mostka

V_o = V_s·GF·ε = 2,5·0,0012 = 3 mV

Odpowiedź

V_o = 3 mV

3.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: M = 1,2 MB

Szybkość danych: każdy kanał dostarcza f_s próbek na sekundę po N bitów, więc surowa szybkość to kanały × f_s × N bit/s. W pamięci próbka zajmuje całe bajty (próbka 12-bitowa jest zapisywana w 2 bajtach), więc pamięć potrzebna na zapis to kanały × f_s × bajty na próbkę × czas. Multipleksowany ADC przetwarza kanały jeden po drugim: każda konwersja (z ustalaniem) trwa t, więc jedna runda n kanałów trwa n·t, a każdy kanał jest próbkowany z częstotliwością 1/(n·t).

Bajty na próbkę

⌈12/8⌉ = 2 B

Strumień bajtów

1·10000·2 = 20000 B/s

Pamięć

M = 20000·60 = 1,2 × 10⁶ B = 1,2 MB

Odpowiedź

M = 1,2 MB

4.Akwizycja danych i próbkowanie

Odpowiedź: e = −2,344 %

UART: asynchroniczne łącze szeregowe wysyła każdy bajt w ramce: jeden bit startu (niski), bity danych, opcjonalny bit parzystości i jeden lub dwa bity stopu (wysokie). Szybkość transmisji w bodach to liczba bitów na sekundę, więc jeden bit trwa T_b = 1/baud, a ramka n bitów trwa n/baud. Popularny format 8N1 ma 10 bitów na bajt. Generator szybkości transmisji dzieli zegar: baud = f_clk/(16·D) dla liczby całkowitej D, więc rzeczywista szybkość nieco różni się od zamierzonej; błąd poniżej około 2 % zwykle jest akceptowalny.

Dzielnik

D = 12·10⁶/(16·38400) = 19,53 → 20

Rzeczywista szybkość transmisji

12·10⁶/(16·20) = 37500 Bd

Błąd

(37500 − 38400)/38400·100 = −2,344 %

Odpowiedź

e = −2,344 %

Błąd powyżej około 2 % sprawia, że łącze jest zawodne: wybierz inny zegar lub inną szybkość transmisji.

5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: R_f = 500 kΩ

Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.

Wzmocnienie wzmacniacza nieodwracającego

V₋ = V₊ = V_in, a prąd przez R₁ płynie też przez R_f, więc V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (6 − 1)·100 = 500 kΩ

Odpowiedź

R_f = 500 kΩ

6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Odpowiedź: V_out = −3,532 V

Prądy wejściowe

V₋ = 0, więc na każdym rezystorze wejściowym jest całe jego napięcie wejściowe.

I₁ = V₁/R₁ = 1,8/1 = 1,8 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1,6/47 = −0,03404 mA

I_f = I₁ + I₂ = 1,766 mA

Napięcie wyjściowe

V_out = −R_f·I_f = −2·1,766 = −3,532 V

Odpowiedź

V_out = −3,532 V

7.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,9737 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 12 + 20 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 5·32/(5+32) = 4,324 Ω

R_eq = R₁ + 4,324 = 8 + 4,324 = 12,32 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/12,32 = 0,9737 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,9737 A

8.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 20,47 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 20 + 2 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 4,714 Ω

R₃ + 4,714 = 34,71 Ω

R₂ ∥ 34,71 = 10,47 Ω

R_eq = R₁ + 10,47 = 10 + 10,47 = 20,47 Ω

Odpowiedź

R_eq = 20,47 Ω

9.Thévenin i Norton

Odpowiedź: R_th = 5,158 Ω

Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia V_th szeregowo z rezystancją R_th. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu I_N = V_th/R_th równolegle z R_th.

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 4·15/(4+15) = 3,158 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,158 + 2 = 5,158 Ω

10.Thévenin i Norton

Odpowiedź: I_L = 3,135 A

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·15/(5+15) = 3,75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,75 + 15 = 18,75 Ω

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego

Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9 + 6·3,75 = 31,5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 31,5 + 6·15 = 121,5 V

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 121,5/(18,75 + 20) = 3,135 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Pomiary i aparatura: zestaw na powtórkę

1Wzory i metody

Mostek Wheatstone’a i tensometry

Metoda

Akwizycja danych i próbkowanie

Metoda

Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi

Rezystory szeregowo i równolegle

Metoda

Thévenin i Norton

Metoda

2Zadania do ćwiczenia

3Roztwory

Napięcie na tensometrze

Moc

Odpowiedź

Względna zmiana rezystancji

Napięcie wyjściowe mostka

Odpowiedź

Bajty na próbkę

Strumień bajtów

Pamięć

Odpowiedź

Dzielnik

Rzeczywista szybkość transmisji

Błąd

Odpowiedź

Wzmocnienie wzmacniacza nieodwracającego

Odpowiedź

Prądy wejściowe

Napięcie wyjściowe

Odpowiedź

Łącz rezystory od najdalszego końca

Prąd ze źródła

Odpowiedź

Łącz rezystory od najdalszego końca

Odpowiedź

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego

Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz R_th przy wyłączonych wszystkich źródłach

Wyznacz V_th, napięcie stanu jałowego