Potraktuj mostek jako dwa dzielniki napięcia na tym samym zasilaniu.
Dla równowagi przyjmij R₁/R₂ = R₃/R₄ i wyznacz nieznany rezystor.
Dla mostka niezrównoważonego wyznacz Va i Vb z dzielników i odejmij je; użyj układu zastępczego Thévenina, gdy miernik obciąża wyjście.
Dla tensometrów zamień odkształcenie na ΔR/R = GF·ε i użyj Vs·GF·ε/4, /2 lub ×1 odpowiednio dla ćwierćmostka, półmostka i mostka pełnego.
Akwizycja danych i próbkowanie
Kryterium Nyquista
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Częstotliwość aliasu
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Wielkość kroku
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Błąd kwantyzacji (zaokrąglanie)
±½ LSB
Kod ADC przy obcinaniu
D = ⌊Vin/LSB⌋
Liczba bitów dla rozdzielczości r
2ᴺ ≥ span/r
Idealny SQNR, sinusoida o pełnej skali
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Szybkość transmisji danych
kanały × fs × N bit/s
Multipleksowany przetwornik ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bitów na bajt; bajty/s = baud/bity w ramce
Dzielnik szybkości transmisji
baud = fclk/(16·D)
Metoda
Zapisz, co jest dane: częstotliwość próbkowania, częstotliwości sygnałów, liczbę bitów, zakres wejściowy, szybkość transmisji w bodach.
W zadaniach o próbkowaniu porównaj każdą częstotliwość z fs/2; wyższa częstotliwość pojawia się jako fa = |f − k·fs| dla najbliższej wielokrotności fs.
W zadaniach o rozdzielczości wyznacz 1 LSB = VFSR/2ᴺ albo najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/rozdzielczość.
W zadaniach o szybkości danych i łączach UART policz wszystko, co jest wysyłane: kanały, próbki na sekundę, bity lub całe bajty na próbkę oraz bity startu, parzystości i stopu każdej ramki.
Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi
Wzmacniacz odwracający
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Wzmacniacz nieodwracający
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Wzmacniacz sumujący
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealny wzmacniacz operacyjny
V+ = V−, Iin = 0
Rezystory szeregowo i równolegle
Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R
Metoda
Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.
Thévenin i Norton
Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metoda
Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.
2Zadania do ćwiczenia
1.Mostek Wheatstone’a i tensometryŚredni
Mostek ma cztery ramiona 300 Ω i Vs = 10 V. Czujnik R₂ zwiększa się o ΔR = 0,3 Ω. Używając przybliżenia małych zmian, wyznacz napięcie wyjściowe Vab w mV.
Vs = 10 VR = 300 ΩΔR = 0,3 Ω
Vab = mV
2.Mostek Wheatstone’a i tensometryTrudny
Przetwornik tensometryczny (pełny mostek tensometrów) ma znamionowe napięcie wyjściowe 2,5 mV/V przy znamionowym obciążeniu 200 kg. Jest zasilany napięciem 5 V. Wyznacz jego napięcie wyjściowe Vo przy obciążeniu 150 kg.
2,5 mV/VFrated = 200 kgVs = 5 VF = 150 kg
Vo = mV
3.Akwizycja danych i próbkowanieŚredni
Rejestrator próbkuje 8 kanałów z częstotliwością 2 kHz każdy, używając 16-bitowego ADC. Każda próbka jest zapisywana w całych bajtach. Wyznacz pamięć M potrzebną na zapis trwający 30 min, w MB (1 MB = 10⁶ bajtów).
n = 8fs = 2 kHzN = 16t = 30 min
M = MB
4.Akwizycja danych i próbkowanieTrudny
10-bitowy ADC przesyła każdą próbkę przez UART z prędkością 19200 bodów w formacie 8N1 (bit startu, 8 bitów danych, 1 bit stopu). Każda próbka jest wysyłana w pełnych bajtach, ich liczba to 2, a łącze jest zajęte przez cały czas. Wyznacz najwyższą częstotliwość sygnału fmax, którą można próbkować bez aliasingu, w Hz.
baud = 19200 BdN = 108N1
fmax = Hz
5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni
Wzmacniacz operacyjny jest idealny i zasilany napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.
Vin = −0,3 VR1 = 4,7 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny
Układ całkujący wykorzystuje idealny wzmacniacz operacyjny zasilany napięciem ±15 V; jego wyjście nasyca się przy ±13 V. Kondensator jest rozładowany, gdy w t = 0 zostaje przyłożone stałe napięcie wejściowe Vin = −0,9 V. Po jakim czasie od t = 0 wyjście osiągnie nasycenie? Wyznacz t.
Vin = −0,9 VR = 22 kΩC = 0,1 µFVsat = ±13 V
t = ms
7.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.
Między a–b podłączono obciążenie RL = 4 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia IL.
V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 ΩRL = 4 Ω
IL = A
10.Thévenin i NortonTrudny
Wyznacz napięcie Thévenina Vth widziane z zacisków a–b.
V1 = 15 VIs = 4 AR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
3Roztwory
1.Mostek Wheatstone’a i tensometry
Odpowiedź: Vab = 2,5 mV
Mostek Wheatstone’a: dwa dzielniki napięcia mają wspólne zasilanie Vs. Lewy dzielnik R1–R2 daje Va = Vs·R2/(R1 + R2), a prawy dzielnik R3–R4 daje Vb = Vs·R4/(R3 + R4); wyjściem jest Vab = Va − Vb. Mostek jest zrównoważony (Vab = 0, brak prądu w mierniku), gdy R1/R2 = R3/R4, czyli R1·R4 = R2·R3. Widziany od strony wyjścia mostek jest źródłem Thévenina o Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Zmiana względna
ΔR/R = 0,3/300 = 0,001
Wyjście zlinearyzowane
Vab ≈ 10·0,001/4 = 2,5 mV
Odpowiedź
Vab = 2,5 mV
Dokładna wartość to 2,499 mV; przybliżenie jest dobre, dopóki ΔR/R jest małe.
2.Mostek Wheatstone’a i tensometry
Odpowiedź: Vo = 9,375 mV
Tensometry: tensometr zmienia rezystancję pod wpływem odkształcenia: ΔR/R = GF·ε, gdzie współczynnik czułości GF wynosi około 2 dla tensometrów foliowych metalowych. W mostku, w którym wszystkie ramiona mają rezystancję R, jeden czynny tensometr (ćwierćmostek) daje Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dwa czynne tensometry o przeciwnych odkształceniach w sąsiednich ramionach (półmostek) dają Vs·GF·ε/2, a cztery (mostek pełny) dają Vs·GF·ε. Naprężenie wynika z prawa Hooke’a, σ = E·ε. Przetworniki tensometryczne podają czułość w mV/V: napięcie wyjściowe przy pełnym obciążeniu na każdy wolt zasilania.
Napięcie wyjściowe przy pełnym zakresie
2,5·5 = 12,5 mV
Napięcie wyjściowe przy tym obciążeniu
Vo = 12,5·150/200 = 9,375 mV
Odpowiedź
Vo = 9,375 mV
3.Akwizycja danych i próbkowanie
Odpowiedź: M = 57,6 MB
Szybkość danych: każdy kanał dostarcza fs próbek na sekundę po N bitów, więc surowa szybkość to kanały × fs × N bit/s. W pamięci próbka zajmuje całe bajty (próbka 12-bitowa jest zapisywana w 2 bajtach), więc pamięć potrzebna na zapis to kanały × fs × bajty na próbkę × czas. Multipleksowany ADC przetwarza kanały jeden po drugim: każda konwersja (z ustalaniem) trwa t, więc jedna runda n kanałów trwa n·t, a każdy kanał jest próbkowany z częstotliwością 1/(n·t).
Bajty na próbkę
⌈16/8⌉ = 2 B
Strumień bajtów
8·2000·2 = 32000 B/s
Pamięć
M = 32000·1800 = 5,76 × 10⁷ B = 57,6 MB
Odpowiedź
M = 57,6 MB
4.Akwizycja danych i próbkowanie
Odpowiedź: fmax = 480 Hz
UART: asynchroniczne łącze szeregowe wysyła każdy bajt w ramce: jeden bit startu (niski), bity danych, opcjonalny bit parzystości i jeden lub dwa bity stopu (wysokie). Szybkość transmisji w bodach to liczba bitów na sekundę, więc jeden bit trwa Tb = 1/baud, a ramka n bitów trwa n/baud. Popularny format 8N1 ma 10 bitów na bajt. Generator szybkości transmisji dzieli zegar: baud = fclk/(16·D) dla liczby całkowitej D, więc rzeczywista szybkość nieco różni się od zamierzonej; błąd poniżej około 2 % zwykle jest akceptowalny.
Bity na próbkę na linii
2·10 = 20 bit
Najwyższa częstotliwość próbkowania
fs,max = 19200/20 = 960 Hz
Granica Nyquista
fmax = 960/2 = 480 Hz
Odpowiedź
fmax = 480 Hz
5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi
Odpowiedź: Vout = −3,3 V
Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.
Wejście odwracające podąża za wejściem
V₋ = V₊ = −0,3 V
I = V₋/R1 = −0,3/4,7 = −0,06383 mA
Napięcie wyjściowe
Prąd przez R₁ płynie też przez Rf.
Vout = V₋ + I·Rf = −0,3 + (−0,06383)·47 = −3,3 V
Odpowiedź
Vout = −3,3 V
6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi
Odpowiedź: t = 31,78 ms
Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.
|Vin|·t/(RC) = Vsat → t = Vsat·RC/|Vin| = 13·2,2/0,9 = 31,78 ms
Odpowiedź
t = 31,78 ms
7.Rezystory szeregowo i równolegle
Odpowiedź: Req = 8,385 Ω
Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.
Łącz rezystory od najdalszego końca
Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.
R3 + R4 = 12 + 10 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 4·22/(4+22) = 3,385 Ω
Req = R1 + 3,385 = 5 + 3,385 = 8,385 Ω
Odpowiedź
Req = 8,385 Ω
8.Rezystory szeregowo i równolegle
Odpowiedź: IR2 = 0,3957 A
Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.
Łącz rezystory od najdalszego końca
Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.
R5 + R6 = 20 + 30 = 50 Ω
R4 ∥ 50 = 16,67 Ω
R3 + 16,67 = 20,67 Ω
R2 ∥ 20,67 = 1,824 Ω
Req = R1 + 1,824 = 12 + 1,824 = 13,82 Ω
Prąd ze źródła
Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.
IR1 = V1/Req = 6/13,82 = 0,434 A
Prąd przez R₂
Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,434·12 = 0,7915 V
IR2 = VA/R2 = 0,7915/2 = 0,3957 A
Odpowiedź
IR2 = 0,3957 A
9.Thévenin i Norton
Odpowiedź: IL = 0,3158 A
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 6·6/(6+6) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 12 = 15 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·6/(6+6) = 6 V
Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina
Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.
IL = Vth/(Rth + RL) = 6/(15 + 4) = 0,3158 A
10.Thévenin i Norton
Odpowiedź: Vth = −61,64 V
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 10·12/(10+12) = 5,455 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,455 + 12 = 17,45 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8,182 + (−4)·5,455 = −13,64 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −13,64 + (−4)·12 = −61,64 V