Potraktuj mostek jako dwa dzielniki napięcia na tym samym zasilaniu.
Dla równowagi przyjmij R₁/R₂ = R₃/R₄ i wyznacz nieznany rezystor.
Dla mostka niezrównoważonego wyznacz Va i Vb z dzielników i odejmij je; użyj układu zastępczego Thévenina, gdy miernik obciąża wyjście.
Dla tensometrów zamień odkształcenie na ΔR/R = GF·ε i użyj Vs·GF·ε/4, /2 lub ×1 odpowiednio dla ćwierćmostka, półmostka i mostka pełnego.
Akwizycja danych i próbkowanie
Kryterium Nyquista
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Częstotliwość aliasu
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Wielkość kroku
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Błąd kwantyzacji (zaokrąglanie)
±½ LSB
Kod ADC przy obcinaniu
D = ⌊Vin/LSB⌋
Liczba bitów dla rozdzielczości r
2ᴺ ≥ span/r
Idealny SQNR, sinusoida o pełnej skali
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Szybkość transmisji danych
kanały × fs × N bit/s
Multipleksowany przetwornik ADC
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bitów na bajt; bajty/s = baud/bity w ramce
Dzielnik szybkości transmisji
baud = fclk/(16·D)
Metoda
Zapisz, co jest dane: częstotliwość próbkowania, częstotliwości sygnałów, liczbę bitów, zakres wejściowy, szybkość transmisji w bodach.
W zadaniach o próbkowaniu porównaj każdą częstotliwość z fs/2; wyższa częstotliwość pojawia się jako fa = |f − k·fs| dla najbliższej wielokrotności fs.
W zadaniach o rozdzielczości wyznacz 1 LSB = VFSR/2ᴺ albo najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/rozdzielczość.
W zadaniach o szybkości danych i łączach UART policz wszystko, co jest wysyłane: kanały, próbki na sekundę, bity lub całe bajty na próbkę oraz bity startu, parzystości i stopu każdej ramki.
Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi
Wzmacniacz odwracający
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Wzmacniacz nieodwracający
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Wzmacniacz sumujący
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Idealny wzmacniacz operacyjny
V+ = V−, Iin = 0
Rezystory szeregowo i równolegle
Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R
Metoda
Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.
Thévenin i Norton
Napięcie Thévenina
Vth = Vopen circuit
Rezystancja Thévenina
Rth: wszystkie źródła wyłączone, widziana z a–b
Prąd Nortona
IN = Vth/Rth
Prąd obciążenia
IL = Vth/(Rth + RL)
Maksymalne przekazywanie mocy
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metoda
Odłącz obciążenie i oznacz dwa zaciski a i b.
Wyznacz napięcie stanu jałowego między a i b: to jest Vth.
Wyłącz wszystkie niezależne źródła i wyznacz rezystancję widzianą z a–b: to jest Rth.
Podłącz obciążenie z powrotem do obwodu zastępczego: Vth szeregowo z Rth.
Dla obwodu zastępczego Nortona przelicz: IN = Vth/Rth, z RN = Rth równolegle.
2Zadania do ćwiczenia
1.Mostek Wheatstone’a i tensometryŚredni
Mostek z czterema ramionami 500 Ω jest zasilany napięciem 2 V. Gdy czujnik R₂ się zmienia, wyjście wskazuje Vab = 56,6 mV. Wyznacz dokładną zmianę ΔR rezystancji R₂.
Vs = 2 VR = 500 ΩVab = 56,6 mV
ΔR = Ω
2.Mostek Wheatstone’a i tensometryTrudny
Mostek z ramionami 1000 Ω jest zasilany napięciem 5 V i ma dwa czynne tensometry w sąsiednich ramionach, jeden rozciągany i jeden ściskany (półmostek). Współczynnik czułości wynosi 2,1, a odkształcenie 500 µε. Wyznacz napięcie wyjściowe mostka Vo w mV.
Vs = 5 VGF = 2,1ε = 500 µε
Vo = mV
3.Akwizycja danych i próbkowanieŚredni
Czujnik mierzy temperaturę w zakresie 100 °C, a jego wyjście wypełnia cały zakres wejściowy ADC. Odczyt ma rozróżniać 0,1 °C. Wyznacz najmniejszą liczbę bitów N potrzebną przetwornikowi.
zakres = 100 °Crozdzielczość = 0,1 °C
N =
4.Akwizycja danych i próbkowanieTrudny
8-kanałowy multiplekser zasila jeden ADC. Każda konwersja trwa 8 µs, a po każdym przełączeniu kanału wejście potrzebuje 0,5 µs na ustalenie się. Kanały są skanowane po kolei bez przerw. Wyznacz częstotliwość próbkowania fs każdego kanału, w kHz.
n = 8tc = 8 µstset = 0,5 µs
fs = kHz
5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiŚredni
Wzmacniacz operacyjny jest idealny i zasilany napięciem ±15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.
Vin = −1,3 VR1 = 47 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymiTrudny
Dwa stopnie z idealnymi wzmacniaczami operacyjnymi są połączone kaskadowo: wzmacniacz odwracający (R1, Rf1), a za nim wzmacniacz nieodwracający (R2 do masy, Rf2 w sprzężeniu zwrotnym). Oba są zasilane napięciem ±15 V. Napięcie wejściowe wynosi Vin = 0,15 V. Wyznacz napięcie wyjściowe Vout.
Między a–b podłączono obciążenie RL = 2 Ω. Zastąp resztę obwodu jego zastępczym układem Thévenina i wyznacz prąd obciążenia IL.
V1 = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 6 ΩRL = 2 Ω
IL = A
10.Thévenin i NortonTrudny
Wyznacz napięcie Thévenina Vth widziane z zacisków a–b.
V1 = 9 VIs = 1 AR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
3Roztwory
1.Mostek Wheatstone’a i tensometry
Odpowiedź: ΔR = 60 Ω
Mostek Wheatstone’a: dwa dzielniki napięcia mają wspólne zasilanie Vs. Lewy dzielnik R1–R2 daje Va = Vs·R2/(R1 + R2), a prawy dzielnik R3–R4 daje Vb = Vs·R4/(R3 + R4); wyjściem jest Vab = Va − Vb. Mostek jest zrównoważony (Vab = 0, brak prądu w mierniku), gdy R1/R2 = R3/R4, czyli R1·R4 = R2·R3. Widziany od strony wyjścia mostek jest źródłem Thévenina o Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Napięcie węzła
Va = 1 + 0,0566 = 1,057 V
Rozwiąż dzielnik
R₂ = 500·1,057/(2 − 1,057) = 560 Ω
ΔR = 560 − 500 = 60 Ω
Odpowiedź
ΔR = 60 Ω
2.Mostek Wheatstone’a i tensometry
Odpowiedź: Vo = 2,625 mV
Tensometry: tensometr zmienia rezystancję pod wpływem odkształcenia: ΔR/R = GF·ε, gdzie współczynnik czułości GF wynosi około 2 dla tensometrów foliowych metalowych. W mostku, w którym wszystkie ramiona mają rezystancję R, jeden czynny tensometr (ćwierćmostek) daje Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dwa czynne tensometry o przeciwnych odkształceniach w sąsiednich ramionach (półmostek) dają Vs·GF·ε/2, a cztery (mostek pełny) dają Vs·GF·ε. Naprężenie wynika z prawa Hooke’a, σ = E·ε. Przetworniki tensometryczne podają czułość w mV/V: napięcie wyjściowe przy pełnym obciążeniu na każdy wolt zasilania.
Względna zmiana rezystancji
ΔR/R = 2,1·500·10⁻⁶ = 0,00105
Napięcie wyjściowe mostka
Vo = Vs·GF·ε/2 = 5·0,00105/2 = 2,625 mV
Odpowiedź
Vo = 2,625 mV
3.Akwizycja danych i próbkowanie
Odpowiedź: N = 10
Rozdzielczość ADC: N-bitowy przetwornik dzieli swój zakres pełnej skali VFSR na 2ᴺ kodów, od 0 do 2ᴺ − 1. Jeden krok to 1 LSB = VFSR/2ᴺ: najmniejsza zmiana, jaką przetwornik potrafi pokazać. ADC z obcinaniem podaje kod ⌊Vin/LSB⌋; ADC z zaokrąglaniem nigdy nie odbiega od prawdziwej wartości o więcej niż ½ LSB, co jest jego błędem kwantyzacji. Każdy dodatkowy bit zmniejsza LSB o połowę i dodaje około 6 dB do idealnego stosunku sygnału do szumu kwantyzacji SQNR = 6,02·N + 1,76 dB dla sinusoidy o pełnej skali. Aby osiągnąć rozdzielczość r na danym zakresie, wybierz najmniejsze N, dla którego 2ᴺ ≥ zakres/r.
Potrzebna liczba kroków
100/0,1 = 1000
Bity
log₂(1000) = 9,966
29 = 512 < 1000 ≤ 210 = 1024
N = 10
Odpowiedź
N = 10
4.Akwizycja danych i próbkowanie
Odpowiedź: fs = 14,71 kHz
Szybkość danych: każdy kanał dostarcza fs próbek na sekundę po N bitów, więc surowa szybkość to kanały × fs × N bit/s. W pamięci próbka zajmuje całe bajty (próbka 12-bitowa jest zapisywana w 2 bajtach), więc pamięć potrzebna na zapis to kanały × fs × bajty na próbkę × czas. Multipleksowany ADC przetwarza kanały jeden po drugim: każda konwersja (z ustalaniem) trwa t, więc jedna runda n kanałów trwa n·t, a każdy kanał jest próbkowany z częstotliwością 1/(n·t).
Czas na kanał
8 + 0,5 = 8,5 µs
Czas skanu
8·8,5 = 68 µs
Częstotliwość próbkowania kanału
fs = 1/68 µs = 14,71 kHz
Odpowiedź
fs = 14,71 kHz
5.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi
Odpowiedź: Vout = −2,6 V
Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.
Wejście odwracające podąża za wejściem
V₋ = V₊ = −1,3 V
I = V₋/R1 = −1,3/47 = −0,02766 mA
Napięcie wyjściowe
Prąd przez R₁ płynie też przez Rf.
Vout = V₋ + I·Rf = −1,3 + (−0,02766)·47 = −2,6 V
Odpowiedź
Vout = −2,6 V
6.Układy ze wzmacniaczami operacyjnymi
Odpowiedź: Vout = −0,846 V
Zasady idealnego wzmacniacza operacyjnego: przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym wzmacniacz ustawia wyjście tak, aby oba wejścia miały to samo napięcie (V₋ = V₊), a do żadnego wejścia nie płynie prąd. PPK na wejściu odwracającym z tymi dwoma faktami daje wyjście.
Wzmocnienie każdego stopnia
A1 = −Rf1/R1 = −4,7/1 = −4,7
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 2/10 = 1,2
Stopień po stopniu
V1 = −4,7·0,15 = −0,705 V
Vout = 1,2·(−0,705) = −0,846 V
Odpowiedź
Vout = −0,846 V
7.Rezystory szeregowo i równolegle
Odpowiedź: Req = 9,296 Ω
Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.
Łącz rezystory od najdalszego końca
Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.
R3 + R4 = 12 + 5 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 10·17/(10+17) = 6,296 Ω
Req = R1 + 6,296 = 3 + 6,296 = 9,296 Ω
Odpowiedź
Req = 9,296 Ω
8.Rezystory szeregowo i równolegle
Odpowiedź: Req = 12,09 Ω
Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.
Łącz rezystory od najdalszego końca
Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.
R5 + R6 = 8 + 20 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 14,48 Ω
R3 + 14,48 = 22,48 Ω
R2 ∥ 22,48 = 4,09 Ω
Req = R1 + 4,09 = 8 + 4,09 = 12,09 Ω
Odpowiedź
Req = 12,09 Ω
9.Thévenin i Norton
Odpowiedź: IL = 0,6 A
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 5·20/(5+20) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 6 = 10 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b przez R₃ nie płynie prąd, więc nie ma na nim spadku i V_b = V_A. R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·20/(5+20) = 7,2 V
Podłącz obciążenie do układu zastępczego Thévenina
Źródło Thévenina i R_th szeregowo zachowują się na a–b dokładnie jak pierwotny obwód, więc obciążenie widzi prostą pętlę szeregową.
IL = Vth/(Rth + RL) = 7,2/(10 + 2) = 0,6 A
10.Thévenin i Norton
Odpowiedź: Vth = 13,6 V
Twierdzenie Thévenina: każdy liniowy dwójnik zachowuje się jak jedno źródło napięcia Vth szeregowo z rezystancją Rth. Twierdzenie Nortona przedstawia ten sam układ jako źródło prądu IN = Vth/Rth równolegle z Rth.
Wyznacz Rth przy wyłączonych wszystkich źródłach
Zastąp źródła napięcia zwarciami, a źródła prądu rozwarciami, a potem spójrz na obwód od strony a–b.
R1 ∥ R2 = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,4 + 4 = 6,4 Ω
Wyznacz Vth, napięcie stanu jałowego
Przy rozwartych a–b jedyną drogą dla Iₛ jest R₃ do węzła A. Wyznacz V_A z superpozycji V₁ i Iₛ, a potem dodaj spadek na R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,2 + 1·2,4 = 9,6 V