Fizyka 1: Mechanika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Kinematyka

Prędkość: v = v₀ + a·t
Przemieszczenie: s = v₀·t + ½·a·t²
Bez czasu: v² = v₀² + 2·a·s
Jednostki: 1 m/s = 3,6 km/h

Metoda

Wypisz dane: v₀, v, a, t i s, z jednostkami.
Wybierz równanie, które zawiera trzy znane wielkości i niewiadomą.
Wybierz jeden kierunek dodatni i nadaj wielkościom przeciwnie skierowanym znak minus.
Rozwiąż i sprawdź, czy odpowiedź ma sens fizyczny.

Zasady dynamiki Newtona

Druga zasada: ΣF = m·a
Ciężar: W = m·g
Tarcie kinetyczne: F_f = μ·N
Na równi pochyłej: wzdłuż: m·g·sin θ, prostopadle: m·g·cos θ

Metoda

Narysuj schemat sił ze wszystkimi siłami działającymi na ciało.
Wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu.
Rozłóż siły na składowe wzdłuż ruchu i prostopadłe do niego (na równi: m·g·sin θ wzdłuż, m·g·cos θ prostopadle do równi).
Zastosuj ΣF = m·a wzdłuż ruchu; tarcie to μ·N przeciwnie do ruchu.

Rzut ukośny

Składowe: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Położenie: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Maksymalna wysokość: H = h + v_y²/(2g)
Zasięg (teren płaski): R = v₀²·sin 2θ/g

Metoda

Rozłóż prędkość początkową na składowe: v_x = v₀·cos θ i v_y = v₀·sin θ.
Ruch poziomy ma stałą prędkość; ruch pionowy ma przyspieszenie −g.
Wyznacz czas lotu z ruchu pionowego.
Użyj tego czasu w ruchu poziomym, aby wyznaczyć zasięg.

Ruch po okręgu

Przyspieszenie dośrodkowe: a = v²/r = ω²·r
Siła dośrodkowa: F = m·v²/r
Prędkość kątowa: ω = v/r = 2π/T
Płaski zakręt, tarcie: v_max = √(μ·g·r)

Praca i energia

Energia kinetyczna: E_k = ½mv²
Energia potencjalna: E_p = mgh
Bilans energii: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Praca tarcia: W = μ·N·d
Moc: P = W/t

Pęd i zderzenia

Pęd: p = m·v
Zasada zachowania: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Doskonale niesprężyste: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Popęd siły: J = F·Δt = m·Δv

Metoda

Wybierz kierunek dodatni i nadaj każdej prędkości znak.
Zapisz całkowity pęd przed zderzeniem: Σm·v.
W zderzeniu doskonale niesprężystym ciała poruszają się potem razem; w zderzeniu sprężystym zachowana jest także energia kinetyczna.
Przyrównaj pęd przed do pędu po i rozwiąż.

Sprężyny i wahadła

Masa na sprężynie: T = 2π·√(m/k)
Wahadło: T = 2π·√(L/g)
Pulsacja: ω = √(k/m) = 2π/T
Maksymalna prędkość i przyspieszenie: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energia: E = ½·k·A²

Fale, dźwięk i optyka

Prędkość fali: v = fλ, T = 1/f
Struna: v = √(T/μ), μ = m/L
Poziom natężenia dźwięku: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Źródło punktowe: I = P/(4πr²)
Fale stojące: struna lub rura otwarta f_n = n·v/(2L); rura zamknięta f_n = n·v/(4L), n nieparzyste
Efekt Dopplera: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Współczynnik załamania: n = c/v, λ = λ₀/n
Prawo Snelliusa: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Kąt graniczny: sin θ_c = n₂/n₁
Światłowód: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Soczewki i zwierciadła: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Podwójna szczelina: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Siatka: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Pojedyncza szczelina: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metoda

Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.

2Zadania do ćwiczenia

1.KinematykaŚredni

Samochód jadący z prędkością 80 km/h hamuje ze stałym opóźnieniem 3,5 m/s² aż do zatrzymania. Wyznacz drogę hamowania s.

v₀ = 80 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematykaTrudny

Piłkę rzucono pionowo w górę z prędkością 5 m/s z krawędzi dachu na wysokości 40 m nad ziemią. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Po jakim czasie od rzutu piłka uderzy w ziemię? Wyznacz t.

v₀ = 5 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Zasady dynamiki NewtonaŚredni

Klocek o masie 18 kg zsuwa się po równi nachylonej pod kątem 30° do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,15. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz przyspieszenie a klocka wzdłuż równi.

m = 18 kgθ = 30°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Zasady dynamiki NewtonaTrudny

Dwa klocki na poziomej podłodze są połączone lekką poziomą nicią. Pozioma siła 80 N ciągnie przedni klocek o masie 4 kg; klocek o masie 3 kg jest ciągnięty za nim. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,1 dla obu klocków. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz przyspieszenie a klocków.

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgF = 80 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Rzut ukośnyŚredni

Piłkę kopnięto z poziomego terenu z prędkością 36 m/s pod kątem 45° do poziomu w stronę muru odległego o 53 m. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Na jakiej wysokości y piłka mija mur?

v₀ = 36 m/sθ = 45°x = 53 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Rzut ukośnyTrudny

Piłkę wyrzucono z prędkością 19 m/s pod kątem 50° do poziomu ze szczytu klifu o wysokości 55 m. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą wysokość H nad ziemią u podnóża klifu.

v₀ = 19 m/sθ = 50°h = 55 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Ruch po okręguŚredni

Samochód pokonuje płaski zakręt o promieniu 65 m. Współczynnik tarcia statycznego między oponami a jezdnią wynosi 0,8. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą prędkość v_max, z jaką samochód może pokonać zakręt bez poślizgu.

r = 65 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Ruch po okręguTrudny

Kulka na nici o długości 0,8 m porusza się po okręgu w płaszczyźnie pionowej. Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka jest najmniejsza prędkość v_min w najwyższym punkcie, przy której nić jest jeszcze napięta?

r = 0,8 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Praca i energiaŚredni

Klocek o masie 10 kg zsuwa się na odcinku 5 m po zboczu nachylonym pod kątem 45° do poziomu, przy współczynniku tarcia kinetycznego 0,2. Wyznacz pracę W_f wykonaną przeciw tarciu.

m = 10 kgθ = 45°μ = 0,2d = 5 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Praca i energiaTrudny

Klocek o masie 5 kg puszczono bez prędkości początkowej z wysokości 3 m na gładkiej rampie. Na dole przejeżdża przez szorstki poziomy pas o długości 1 m (μ = 0,2), a potem trafia na sprężynę (k = 1000 N/m) na gładkiej powierzchni. Wyznacz maksymalne ugięcie x sprężyny.

m = 5 kgh = 3 mL = 1 mμ = 0,2k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Pęd i zderzeniaŚredni

Wózek o masie 4 kg jadący z prędkością 5 m/s zderza się czołowo i doskonale sprężyście ze spoczywającym wózkiem o masie 5 kg na torze bez tarcia. Wyznacz prędkość v′₂ drugiego wózka po zderzeniu.

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Pęd i zderzeniaTrudny

Na skrzyżowaniu samochód o masie 1800 kg jadący na wschód z prędkością 8 m/s zderza się z samochodem o masie 1400 kg jadącym na północ z prędkością 18 m/s. Samochody się sczepiają. Wyznacz prędkość v′ wraku tuż po zderzeniu.

m₁ = 1800 kgv₁ = 8 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 18 m/s (N)

v′ = m/s

13.Sprężyny i wahadłaŚredni

Wahadło matematyczne ma długość 2,7 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz jego okres T dla małych wychyleń.

L = 2,7 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Sprężyny i wahadłaTrudny

Masę 3,5 kg na sprężynie o k = 210 N/m odciągnięto o 12 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalne przyspieszenie a_max.

m = 3,5 kgk = 210 N/mA = 12 cm

a_max = m/s²

15.Fale, dźwięk i optykaŚredni

Układ: Rura otwarta na obu końcach. Wymagana częstotliwość dla: harmoniczna numer 4 to 457 Hz. Prędkość dźwięku wynosi 343 m/s. Znajdź długość L rury.

v = 343 m/sn = 4f₄ = 457 Hz

L = m

16.Fale, dźwięk i optykaTrudny

Siatka o 800 liniach na milimetr pokazuje maksimum rzędu 1 linii widmowej pod kątem 21,1° od kierunku prostego. Znajdź długość fali λ tej linii.

N = 800 mm⁻¹θ₁ = 21,1°m = 1

λ = nm

3Roztwory

1.Kinematyka

Odpowiedź: s = 70,55 m

Ruch ze stałym przyspieszeniem: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² i v² = v₀² + 2·a·s. Wybierz równanie, które zawiera trzy znane wielkości i tę szukaną, i trzymaj się znaków zgodnych z jednym kierunkiem dodatnim.

Jednostki

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Droga hamowania

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·3,5) = 70,55 m

Odpowiedź

s = 70,55 m

2.Kinematyka

Odpowiedź: t = 3,41 s

Równanie ruchu

Kierunek w górę jest dodatni, a ziemia leży h₀ poniżej punktu startu.

−40 = 5·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 5·t − 40 = 0

Rozwiąż równanie kwadratowe

Sens fizyczny ma tylko dodatni pierwiastek.

t = (5 + √(5² + 2·9,81·40))/9,81 = 3,41 s

Odpowiedź

t = 3,41 s

3.Zasady dynamiki Newtona

Odpowiedź: a = 3,631 m/s²

Druga zasada dynamiki Newtona: siła wypadkowa działająca na ciało jest równa iloczynowi jego masy i przyspieszenia, ΣF = m·a. Narysuj schemat sił, wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu i dodaj wszystkie siły w tym kierunku: siły przyłożone, tarcie μ·N przeciwne do ruchu i składowe siły ciężkości.

Siły wzdłuż równi

Kierunek w dół równi jest dodatni.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Przyspieszenie

a = 9,81·(sin 30° − 0,15·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1299) = 3,631 m/s²

Odpowiedź

a = 3,631 m/s²

4.Zasady dynamiki Newtona

Odpowiedź: a = 10,45 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Cały układ

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (80 − 6,867)/7 = 10,45 m/s²

Odpowiedź

a = 10,45 m/s²

5.Rzut ukośny

Odpowiedź: y = 31,74 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Czas dotarcia do muru

v_x = 36·cos 45° = 25,46 m/s

t = x/v_x = 53/25,46 = 2,082 s

Wysokość w tej chwili

y = 25,46·2,082 − ½·9,81·2,082² = 31,74 m

Odpowiedź

y = 31,74 m

Przy murze piłka jeszcze się wznosi.

6.Rzut ukośny

Odpowiedź: H = 65,8 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Pionowa prędkość początkowa

v_y = 19·sin 50° = 14,55 m/s

Wzniesienie ponad klif

Δh = v_y²/(2g) = 14,55²/(2·9,81) = 10,8 m

Wysokość nad ziemią

H = 55 + 10,8 = 65,8 m

Odpowiedź

H = 65,8 m

7.Ruch po okręgu

Odpowiedź: v_max = 22,59 m/s

Ruch jednostajny po okręgu: ciało poruszające się z prędkością v po okręgu o promieniu r ma przyspieszenie skierowane do środka a = v²/r, więc potrzebuje wypadkowej siły skierowanej do środka F = m·v²/r. Tę siłę zapewnia coś rzeczywistego: tarcie, naciąg nici, grawitacja albo siła reakcji.

Tarcie pełni rolę siły dośrodkowej

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·65) = 22,59 m/s

Odpowiedź

v_max = 22,59 m/s (81,31 km/h)

8.Ruch po okręgu

Odpowiedź: v_min = 2,801 m/s

Zerowy naciąg w najwyższym punkcie

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,8) = 2,801 m/s

Odpowiedź

v_min = 2,801 m/s

9.Praca i energia

Odpowiedź: W_f = 69,37 J

Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).

Siła tarcia

N = mg·cos θ = 98,1·0,7071 = 69,37 N

F = μN = 0,2·69,37 = 13,87 N

Praca przeciw tarciu

W_f = F·d = 13,87·5 = 69,37 J

Odpowiedź

W_f = 69,37 J

10.Praca i energia

Odpowiedź: x = 52,41 cm

Energia po szorstkim pasie

Rampa jest gładka, więc energię zabiera tylko pas.

mgh − μmgL = 49,05·(3 − 0,2·1) = 137,3 J

Maksymalne ugięcie

½kx² = 137,3 → x = √(2·137,3/1000) = 0,5241 m = 52,41 cm

Odpowiedź

x = 52,41 cm

11.Pęd i zderzenia

Odpowiedź: v′₂ = 4,444 m/s

Zasada zachowania pędu: gdy podczas zderzenia nie działa żadna siła zewnętrzna, całkowity pęd Σm·v przed zderzeniem równa się całkowitemu pędowi po nim. Prędkości mają kierunek, więc wybierz kierunek dodatni i prędkościom o przeciwnym zwrocie nadaj znak minus. W zderzeniu sprężystym zachowana jest też energia kinetyczna; w doskonale niesprężystym ciała łączą się ze sobą.

Zderzenie sprężyste ze spoczywającym ciałem

Rozwiązanie razem zasad zachowania pędu i energii daje te dwa wyniki.

v′₁ = (4 − 5)/(4 + 5)·5 = −0,5556 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 5)·5 = 4,444 m/s

Odpowiedź

v′₂ = 4,444 m/s

12.Pęd i zderzenia

Odpowiedź: v′ = 9,07 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Składowe pędu

p_x = 1800·8 = 14400 kg·m/s

p_y = 1400·18 = 25200 kg·m/s

Prędkość wraku

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 29024/3200 = 9,07 m/s

Odpowiedź

v′ = 9,07 m/s

13.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: T = 3,296 s

Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².

Okres wahadła

T = 2π·√(2,7/9,81) = 3,296 s

Odpowiedź

T = 3,296 s

14.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: a_max = 7,2 m/s²

Pulsacja

ω = √(210/3,5) = 7,746 rad/s

Maksymalne przyspieszenie

a_max = A·ω² = 0,12·7,746² = 7,2 m/s²

Odpowiedź

a_max = 7,2 m/s²

15.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: L = 1,501 m

Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, f_n = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.

Długość fali

λ = v/f = 343/457 = 0,7505 m

Długość

L = nλ/2 = 4·0,7505/2 = 1,501 m

Odpowiedź

L = 1,501 m

16.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: λ = 450 nm

Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Długość fali

λ = d·sin θ/m = 1,25 × 10⁻⁶·sin 21,1°/1 = 450 nm

Odpowiedź

λ = 450 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics