Fizyka 1: Mechanika: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Kinematyka

Prędkość: v = v₀ + a·t
Przemieszczenie: s = v₀·t + ½·a·t²
Bez czasu: v² = v₀² + 2·a·s
Jednostki: 1 m/s = 3,6 km/h

Metoda

Wypisz dane: v₀, v, a, t i s, z jednostkami.
Wybierz równanie, które zawiera trzy znane wielkości i niewiadomą.
Wybierz jeden kierunek dodatni i nadaj wielkościom przeciwnie skierowanym znak minus.
Rozwiąż i sprawdź, czy odpowiedź ma sens fizyczny.

Zasady dynamiki Newtona

Druga zasada: ΣF = m·a
Ciężar: W = m·g
Tarcie kinetyczne: F_f = μ·N
Na równi pochyłej: wzdłuż: m·g·sin θ, prostopadle: m·g·cos θ

Metoda

Narysuj schemat sił ze wszystkimi siłami działającymi na ciało.
Wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu.
Rozłóż siły na składowe wzdłuż ruchu i prostopadłe do niego (na równi: m·g·sin θ wzdłuż, m·g·cos θ prostopadle do równi).
Zastosuj ΣF = m·a wzdłuż ruchu; tarcie to μ·N przeciwnie do ruchu.

Rzut ukośny

Składowe: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Położenie: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Maksymalna wysokość: H = h + v_y²/(2g)
Zasięg (teren płaski): R = v₀²·sin 2θ/g

Metoda

Rozłóż prędkość początkową na składowe: v_x = v₀·cos θ i v_y = v₀·sin θ.
Ruch poziomy ma stałą prędkość; ruch pionowy ma przyspieszenie −g.
Wyznacz czas lotu z ruchu pionowego.
Użyj tego czasu w ruchu poziomym, aby wyznaczyć zasięg.

Ruch po okręgu

Przyspieszenie dośrodkowe: a = v²/r = ω²·r
Siła dośrodkowa: F = m·v²/r
Prędkość kątowa: ω = v/r = 2π/T
Płaski zakręt, tarcie: v_max = √(μ·g·r)

Praca i energia

Energia kinetyczna: E_k = ½mv²
Energia potencjalna: E_p = mgh
Bilans energii: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Praca tarcia: W = μ·N·d
Moc: P = W/t

Pęd i zderzenia

Pęd: p = m·v
Zasada zachowania: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Doskonale niesprężyste: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Popęd siły: J = F·Δt = m·Δv

Metoda

Wybierz kierunek dodatni i nadaj każdej prędkości znak.
Zapisz całkowity pęd przed zderzeniem: Σm·v.
W zderzeniu doskonale niesprężystym ciała poruszają się potem razem; w zderzeniu sprężystym zachowana jest także energia kinetyczna.
Przyrównaj pęd przed do pędu po i rozwiąż.

Sprężyny i wahadła

Masa na sprężynie: T = 2π·√(m/k)
Wahadło: T = 2π·√(L/g)
Pulsacja: ω = √(k/m) = 2π/T
Maksymalna prędkość i przyspieszenie: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energia: E = ½·k·A²

Fale, dźwięk i optyka

Prędkość fali: v = fλ, T = 1/f
Struna: v = √(T/μ), μ = m/L
Poziom natężenia dźwięku: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Źródło punktowe: I = P/(4πr²)
Fale stojące: struna lub rura otwarta f_n = n·v/(2L); rura zamknięta f_n = n·v/(4L), n nieparzyste
Efekt Dopplera: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Współczynnik załamania: n = c/v, λ = λ₀/n
Prawo Snelliusa: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Kąt graniczny: sin θ_c = n₂/n₁
Światłowód: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Soczewki i zwierciadła: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Podwójna szczelina: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Siatka: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Pojedyncza szczelina: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metoda

Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.

2Zadania do ćwiczenia

1.KinematykaŚredni

Kierowca jadący z prędkością 100 km/h dostrzega przeszkodę. Jego czas reakcji wynosi 0,8 s, po czym samochód hamuje ze stałym opóźnieniem 5,5 m/s². Wyznacz całkowitą drogę zatrzymania d od chwili dostrzeżenia przeszkody.

v₀ = 100 km/ht_r = 0,8 sa = −5,5 m/s²

d = m

2.KinematykaTrudny

Piłkę rzucono pionowo w górę z prędkością 7 m/s z krawędzi dachu na wysokości 35 m nad ziemią. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą wysokość h_max nad ziemią.

v₀ = 7 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Zasady dynamiki NewtonaŚredni

Klocek o masie 13 kg zsuwa się po równi nachylonej pod kątem 25° do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,2. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz przyspieszenie a klocka wzdłuż równi.

m = 13 kgθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Zasady dynamiki NewtonaTrudny

Klocek o masie 2,5 kg na poziomym stole jest połączony lekką nicią przerzuconą przez nieważki bloczek bez tarcia z wiszącym ciężarkiem o masie 4,5 kg. Współczynnik tarcia kinetycznego między klockiem a stołem wynosi 0,1. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz przyspieszenie a układu.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Rzut ukośnyŚredni

Piłkę wyrzucono z poziomego terenu pod kątem 75° do poziomu i upadła 55 m dalej. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz prędkość początkową v₀.

θ = 75°R = 55 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Rzut ukośnyTrudny

Piłkę rzucono z poziomu ziemi z prędkością 37 m/s pod kątem 45° do poziomu. Ląduje, już opadając, na płaskim dachu budynku o wysokości 9 m. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz odległość poziomą x od punktu wyrzutu do miejsca lądowania.

v₀ = 37 m/sθ = 45°h_roof = 9 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Ruch po okręguŚredni

Samochód pokonuje płaski zakręt o promieniu 45 m. Współczynnik tarcia statycznego między oponami a jezdnią wynosi 0,6. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą prędkość v_max, z jaką samochód może pokonać zakręt bez poślizgu.

r = 45 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Ruch po okręguTrudny

Kulka na nici o długości 1,3 m porusza się po okręgu w płaszczyźnie pionowej. Przyjmij g = 9,81 m/s². Jaka jest najmniejsza prędkość v_min w najwyższym punkcie, przy której nić jest jeszcze napięta?

r = 1,3 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Praca i energiaŚredni

Klocek o masie 2,5 kg zsuwa się na odcinku 16 m po zboczu nachylonym pod kątem 35° do poziomu, przy współczynniku tarcia kinetycznego 0,15. Wyznacz pracę W_f wykonaną przeciw tarciu.

m = 2,5 kgθ = 35°μ = 0,15d = 16 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Praca i energiaTrudny

Klocek o masie 10 kg puszczono bez prędkości początkowej z wysokości 1 m na gładkiej rampie. Na dole przejeżdża przez szorstki poziomy pas o długości 1,5 m (μ = 0,3), a potem trafia na sprężynę (k = 1000 N/m) na gładkiej powierzchni. Wyznacz maksymalne ugięcie x sprężyny.

m = 10 kgh = 1 mL = 1,5 mμ = 0,3k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Pęd i zderzeniaŚredni

Wózek o masie 2,5 kg jadący z prędkością 12 m/s zderza się czołowo i doskonale sprężyście ze spoczywającym wózkiem o masie 5 kg na torze bez tarcia. Wyznacz prędkość v′₂ drugiego wózka po zderzeniu.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Pęd i zderzeniaTrudny

Piłka o masie 0,1 kg uderza w ścianę z prędkością 10 m/s i odbija się prosto do tyłu z prędkością 6 m/s. Kontakt trwa 25 ms. Wyznacz średnią siłę F_avg, z jaką ściana działa na piłkę.

m = 0,1 kgv_in = 10 m/sv_out = 6 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Sprężyny i wahadłaŚredni

Wahadło matematyczne ma długość 2 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz jego okres T dla małych wychyleń.

L = 2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Sprężyny i wahadłaTrudny

Masę 3,5 kg na sprężynie o k = 170 N/m odciągnięto o 14 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz całkowitą energię E drgań.

m = 3,5 kgk = 170 N/mA = 14 cm

E = J

15.Fale, dźwięk i optykaŚredni

Przedmiot stoi 10 cm przed cienką soczewką (typ: rozpraszająca) o ogniskowej 5 cm. Znajdź powiększenie m (ujemne dla obrazu odwróconego).

d_o = 10 cmf = −5 cm

m =

16.Fale, dźwięk i optykaTrudny

Światło o długości fali 633 nm pada na dwie szczeliny odległe o 0,4 mm. Ekran jest oddalony o 3 m. Znajdź odstęp Δy między sąsiednimi jasnymi prążkami.

λ = 633 nmd = 0,4 mmL = 3 m

Δy = mm

3Roztwory

1.Kinematyka

Odpowiedź: d = 92,37 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Jednostki

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Droga reakcji

d₁ = v₀·t_r = 27,78·0,8 = 22,22 m

Droga hamowania

d₂ = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·5,5) = 70,15 m

Suma

d = 22,22 + 70,15 = 92,37 m

Odpowiedź

d = 92,37 m

2.Kinematyka

Odpowiedź: h_max = 37,5 m

Ruch ze stałym przyspieszeniem: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² i v² = v₀² + 2·a·s. Wybierz równanie, które zawiera trzy znane wielkości i tę szukaną, i trzymaj się znaków zgodnych z jednym kierunkiem dodatnim.

Wzniesienie nad dach

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 7²/(2·9,81) = 2,497 m

Wysokość nad ziemią

h_max = 35 + 2,497 = 37,5 m

Odpowiedź

h_max = 37,5 m

3.Zasady dynamiki Newtona

Odpowiedź: a = 2,368 m/s²

Druga zasada dynamiki Newtona: siła wypadkowa działająca na ciało jest równa iloczynowi jego masy i przyspieszenia, ΣF = m·a. Narysuj schemat sił, wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu i dodaj wszystkie siły w tym kierunku: siły przyłożone, tarcie μ·N przeciwne do ruchu i składowe siły ciężkości.

Siły wzdłuż równi

Kierunek w dół równi jest dodatni.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Przyspieszenie

a = 9,81·(sin 25° − 0,2·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,1813) = 2,368 m/s²

Odpowiedź

a = 2,368 m/s²

4.Zasady dynamiki Newtona

Odpowiedź: a = 5,956 m/s²

Przyspieszenie układu

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 2,453)/7 = 5,956 m/s²

Odpowiedź

a = 5,956 m/s²

5.Rzut ukośny

Odpowiedź: v₀ = 32,85 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Wyznacz v₀ ze wzoru na zasięg

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·55/sin 150°) = 32,85 m/s

Odpowiedź

v₀ = 32,85 m/s

6.Rzut ukośny

Odpowiedź: x = 129,9 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Rozłóż prędkość początkową

v_x = 26,16 m/s, v_y = 26,16 m/s

Czas do lądowania na dachu

Większy pierwiastek: piłka opada.

9 = 26,16·t − 4,905·t²

t = (26,16 + √(26,16² − 2·9,81·9))/9,81 = 4,964 s

Odległość pozioma

x = v_x·t = 26,16·4,964 = 129,9 m

Odpowiedź

x = 129,9 m

7.Ruch po okręgu

Odpowiedź: v_max = 16,27 m/s

Ruch jednostajny po okręgu: ciało poruszające się z prędkością v po okręgu o promieniu r ma przyspieszenie skierowane do środka a = v²/r, więc potrzebuje wypadkowej siły skierowanej do środka F = m·v²/r. Tę siłę zapewnia coś rzeczywistego: tarcie, naciąg nici, grawitacja albo siła reakcji.

Tarcie pełni rolę siły dośrodkowej

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·45) = 16,27 m/s

Odpowiedź

v_max = 16,27 m/s (58,59 km/h)

8.Ruch po okręgu

Odpowiedź: v_min = 3,571 m/s

Zerowy naciąg w najwyższym punkcie

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,3) = 3,571 m/s

Odpowiedź

v_min = 3,571 m/s

9.Praca i energia

Odpowiedź: W_f = 48,22 J

Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).

Siła tarcia

N = mg·cos θ = 24,53·0,8192 = 20,09 N

F = μN = 0,15·20,09 = 3,013 N

Praca przeciw tarciu

W_f = F·d = 3,013·16 = 48,22 J

Odpowiedź

W_f = 48,22 J

10.Praca i energia

Odpowiedź: x = 32,85 cm

Energia po szorstkim pasie

Rampa jest gładka, więc energię zabiera tylko pas.

mgh − μmgL = 98,1·(1 − 0,3·1,5) = 53,96 J

Maksymalne ugięcie

½kx² = 53,96 → x = √(2·53,96/1000) = 0,3285 m = 32,85 cm

Odpowiedź

x = 32,85 cm

11.Pęd i zderzenia

Odpowiedź: v′₂ = 8 m/s

Zasada zachowania pędu: gdy podczas zderzenia nie działa żadna siła zewnętrzna, całkowity pęd Σm·v przed zderzeniem równa się całkowitemu pędowi po nim. Prędkości mają kierunek, więc wybierz kierunek dodatni i prędkościom o przeciwnym zwrocie nadaj znak minus. W zderzeniu sprężystym zachowana jest też energia kinetyczna; w doskonale niesprężystym ciała łączą się ze sobą.

Zderzenie sprężyste ze spoczywającym ciałem

Rozwiązanie razem zasad zachowania pędu i energii daje te dwa wyniki.

v′₁ = (2,5 − 5)/(2,5 + 5)·12 = −4 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 5)·12 = 8 m/s

Odpowiedź

v′₂ = 8 m/s

12.Pęd i zderzenia

Odpowiedź: F_avg = 64 N

Zmiana pędu

J = m·Δv = 0,1·(6 + 10) = 1,6 N·s

Średnia siła

F_avg = J/Δt = 1,6/0,025 = 64 N

Odpowiedź

F_avg = 64 N

13.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: T = 2,837 s

Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².

Okres wahadła

T = 2π·√(2/9,81) = 2,837 s

Odpowiedź

T = 2,837 s

14.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: E = 1,666 J

Pulsacja

ω = √(170/3,5) = 6,969 rad/s

Energia

E = ½·k·A² = ½·170·0,14² = 1,666 J

Odpowiedź

E = 1,666 J

15.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: m = 0,3333

Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θ_c = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/d_o + 1/d_i z powiększeniem m = −d_i/d_o. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; d_i > 0 dla obrazu rzeczywistego, d_i < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.

Równanie cienkiej soczewki

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−5) − 1/10

d_i = −3,333 cm

Powiększenie

m = −d_i/d_o = −(−3,333)/10 = 0,3333

Odpowiedź

m = 0,3333

16.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: Δy = 4,747 mm

Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Odstęp prążków

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·3/(0,4 × 10⁻³) = 4,747 mm

Odpowiedź

Δy = 4,747 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics