Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Samochód jadący ze stałą prędkością 25 m/s mija stojący radiowóz. W tej chwili radiowóz rusza i przyspiesza jednostajnie z przyspieszeniem 4 m/s². Po jakim czasie radiowóz dogoni samochód? Wyznacz t.
Tramwaj rusza z miejsca i przyspiesza z przyspieszeniem 1,5 m/s² przez 8 s, potem jedzie ze stałą prędkością przez 13 s, a na koniec hamuje z opóźnieniem 3,5 m/s² aż do zatrzymania. Wyznacz całkowity czas jazdy t.
Skrzynka o masie 50 kg jest pchana ze stałą prędkością w górę rampy nachylonej pod kątem 30° do poziomu siłą równoległą do rampy. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,4. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz siłę pchającą F.
Dwa klocki na poziomej podłodze są połączone lekką poziomą nicią. Pozioma siła 140 N ciągnie przedni klocek o masie 6 kg; klocek o masie 8 kg jest ciągnięty za nim. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,1 dla obu klocków. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz przyspieszenie a klocków.
Piłkę wyrzucono z poziomego terenu pod kątem 75° do poziomu i upadła 115 m dalej. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz prędkość początkową v0.
Piłka zostaje wyrzucona pod kątem 20° do poziomu ze szczytu klifu o wysokości 10 m. Pomiń opór powietrza. Wyznacz czas lotu t, zanim piłka uderzy w ziemię.
W rotorze w wesołym miasteczku uczestnicy stoją przy ścianie pionowego walca o promieniu 3,1 m. Gdy obraca się on wystarczająco szybko, podłoga opada, a tarcie utrzymuje ich w górze. Współczynnik tarcia statycznego wynosi 0,4. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz najmniejszą prędkość obrotową n w obrotach na minutę.
Kulka o masie 1,9 kg na nici o długości 0,7 m porusza się po okręgu w płaszczyźnie pionowej. W najniższym punkcie ma prędkość 5 m/s. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz siłę naciągu T nici w najniższym punkcie.
Klocek zsuwa się bez prędkości początkowej po zboczu nachylonym pod kątem 25° do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,2. Wyznacz jego prędkość v po przebyciu 20 m wzdłuż zbocza.
Wózek o masie 1 kg zostaje puszczony bez prędkości początkowej z wysokości 8,4 m na gładkim torze, który przechodzi w pionową pętlę o promieniu 3 m. Wyznacz prędkość v wózka w najwyższym punkcie pętli.
Pocisk o masie 20 kg lecący poziomo z prędkością 9 m/s rozpada się w wybuchu na dwa odłamki poruszające się wzdłuż tej samej prostej. Odłamek o masie 13 kg leci dalej do przodu z prędkością 38 m/s. Wyznacz prędkość v′2 odłamka o masie 7 kg (dodatnią w pierwotnym kierunku).
Piłka o masie 0,6 kg uderza w ścianę z prędkością 8 m/s i odbija się prosto do tyłu z prędkością 10 m/s. Kontakt trwa 25 ms. Wyznacz wartość popędu J, który ściana przekazuje piłce.
Ciężarek o masie 0,8 kg na sprężynie o k = 480 N/m drga na powierzchni bez tarcia z amplitudą 12 cm. Wyznacz jego prędkość v, gdy znajduje się 9 cm od położenia równowagi.
Masę 1,6 kg na sprężynie o k = 390 N/m odciągnięto o 5 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalną prędkość vmax.
Mały głośnik promieniuje moc akustyczną 0,2 W równo we wszystkich kierunkach. Znajdź poziom natężenia dźwięku β w odległości 2 m.
Światłowód ma rdzeń o n₁ = 1,5 i płaszcz o n₂ = 1,47. Znajdź największy kąt θa względem osi włókna, pod którym światło z powietrza może wejść w koniec włókna i nadal być prowadzone przez całkowite wewnętrzne odbicie.
Odpowiedź: t = 12,5 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
W tej chwili radiowóz jedzie z prędkością 2v = 50 m/s.
Odpowiedź: t = 24,43 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Odpowiedź: F = 415,2 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Stała prędkość: siły się równoważą.
Odpowiedź: a = 9,019 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Odpowiedź: v0 = 47,5 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Odpowiedź: t = 2,492 s
Rzut ukośny: bez oporu powietrza x = vxt i y = h + vyt − ½gt². Oba kierunki są niezależne, łączy je tylko ten sam czas.
Prędkość pozioma jest stała; ruch pionowy ma stałe przyspieszenie g = 9,81 m/s² w dół.
Rozwiąż y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0, biorąc dodatni pierwiastek.
Odpowiedź: n = 26,86 rpm
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Odpowiedź: T = 86,5 N
Ruch jednostajny po okręgu: ciało poruszające się z prędkością v po okręgu o promieniu r ma przyspieszenie skierowane do środka a = v²/r, więc potrzebuje wypadkowej siły skierowanej do środka F = m·v²/r. Tę siłę zapewnia coś rzeczywistego: tarcie, naciąg nici, grawitacja albo siła reakcji.
Kierunek do środka (w górę) jest dodatni.
Odpowiedź: v = 9,732 m/s
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Klocek obniża się o d·sin θ, a tarcie zabiera μmg·cos θ·d. Masa się skraca.
Odpowiedź: v = 6,862 m/s
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d). Na torze kołowym siła wypadkowa skierowana do środka musi być równa mv²/r.
Wózek ledwo pokonuje pętlę, gdy h = 2,5R; wtedy N = 0 w najwyższym punkcie.
Odpowiedź: v′2 = −44,86 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Znak minus oznacza, że drugi odłamek leci do tyłu.
Odpowiedź: J = 10,8 N·s
Zasada zachowania pędu: gdy podczas zderzenia nie działa żadna siła zewnętrzna, całkowity pęd Σm·v przed zderzeniem równa się całkowitemu pędowi po nim. Prędkości mają kierunek, więc wybierz kierunek dodatni i prędkościom o przeciwnym zwrocie nadaj znak minus. W zderzeniu sprężystym zachowana jest też energia kinetyczna; w doskonale niesprężystym ciała łączą się ze sobą.
Odpowiedź: v = 1,944 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Odpowiedź: vmax = 0,7806 m/s
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Odpowiedź: β = 96 dB
Fale: fala okresowa przesuwa się o jedną długość fali w ciągu jednego okresu, więc v = fλ, gdzie T = 1/f. Na napiętej strunie v = √(T/μ), gdzie T to naciąg, a μ = m/L to masa na metr. Dźwięk w powietrzu rozchodzi się z prędkością około 343 m/s w 20 °C, światło w próżni z c = 3,00 × 10⁸ m/s. Głośność mierzy się w skali logarytmicznej: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, gdzie I₀ = 10⁻¹² W/m², więc 10 razy większe natężenie dodaje 10 dB. Źródło punktowe rozprasza moc P na sferę: I = P/(4πr²).
Odpowiedź: θa = 17,37 °
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics