Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
Samolot potrzebuje do startu prędkości 280 km/h, a użyteczny pas startowy ma długość 2100 m. Jakie stałe przyspieszenie a jest potrzebne przy starcie z miejsca?
Tramwaj rusza z miejsca i przyspiesza z przyspieszeniem 2,5 m/s² przez 6 s, potem jedzie ze stałą prędkością przez 25 s, a na koniec hamuje z opóźnieniem 4 m/s² aż do zatrzymania. Wyznacz całkowitą drogę s między dwoma przystankami.
Klocek o masie 4 kg zsuwa się po równi nachylonej pod kątem 45° do poziomu. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,3. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz przyspieszenie a klocka wzdłuż równi.
Klocek zostaje popchnięty tak, że zaczyna sunąć w górę rampy nachylonej pod kątem 30° z prędkością 11 m/s. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0,15. Przyjmij g = 9,81 m/s². Jak daleko d wzdłuż rampy przesunie się klocek, zanim się zatrzyma?
Piłkę wyrzucono z poziomego terenu pod kątem 40° do poziomu i upadła 110 m dalej. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz prędkość początkową v0.
Piłkę rzucono z poziomu ziemi z prędkością 35 m/s pod kątem 70° do poziomu. Ląduje, już opadając, na płaskim dachu budynku o wysokości 28 m. Pomiń opór powietrza i przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz odległość poziomą x od punktu wyrzutu do miejsca lądowania.
W rotorze w wesołym miasteczku uczestnicy stoją przy ścianie pionowego walca o promieniu 1,5 m. Gdy obraca się on wystarczająco szybko, podłoga opada, a tarcie utrzymuje ich w górze. Współczynnik tarcia statycznego wynosi 0,7. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz najmniejszą prędkość obrotową n w obrotach na minutę.
Kulka o masie 0,6 kg na nici o długości 1,5 m porusza się po okręgu w płaszczyźnie pionowej. W najniższym punkcie ma prędkość 6 m/s. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz siłę naciągu T nici w najniższym punkcie.
Klocek o masie 2,5 kg zsuwa się na odcinku 9 m po zboczu nachylonym pod kątem 30° do poziomu, przy współczynniku tarcia kinetycznego 0,2. Wyznacz pracę Wf wykonaną przeciw tarciu.
Wózek o masie 10 kg zostaje puszczony bez prędkości początkowej z wysokości 16 m na gładkim torze, który przechodzi w pionową pętlę o promieniu 5 m. Wyznacz prędkość v wózka w najwyższym punkcie pętli.
Wózek o masie 2,5 kg jadący z prędkością 5 m/s zderza się czołowo i doskonale sprężyście ze spoczywającym wózkiem o masie 2 kg na torze bez tarcia. Wyznacz prędkość v′2 drugiego wózka po zderzeniu.
Na skrzyżowaniu samochód o masie 800 kg jadący na wschód z prędkością 22 m/s zderza się z samochodem o masie 1700 kg jadącym na północ z prędkością 11 m/s. Samochody się sczepiają. Wyznacz kierunek θ ruchu wraku tuż po zderzeniu, mierzony od wschodu w stronę północy.
Jaką długość musi mieć wahadło matematyczne, aby jego okres wynosił 2,3 s? Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz L.
Masę 0,6 kg na sprężynie o k = 130 N/m odciągnięto o 12 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalne przyspieszenie amax.
Układ: Rura otwarta na obu końcach. Wymagana częstotliwość dla: harmoniczna numer 4 to 686 Hz. Prędkość dźwięku wynosi 343 m/s. Znajdź długość L rury.
Dwie szczeliny odległe o 0,3 mm oświetlono światłem monochromatycznym. Na ekranie w odległości 1 m jasny prążek numer 4 leży 8,44 mm od prążka środkowego. Znajdź długość fali λ.
Odpowiedź: a = 1,44 m/s²
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Odpowiedź: s = 448,1 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Odpowiedź: a = 4,856 m/s²
Druga zasada dynamiki Newtona: siła wypadkowa działająca na ciało jest równa iloczynowi jego masy i przyspieszenia, ΣF = m·a. Narysuj schemat sił, wybierz kierunek dodatni wzdłuż ruchu i dodaj wszystkie siły w tym kierunku: siły przyłożone, tarcie μ·N przeciwne do ruchu i składowe siły ciężkości.
Kierunek w dół równi jest dodatni.
Odpowiedź: d = 9,791 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Obie siły są skierowane w dół zbocza; masa się skraca.
Odpowiedź: v0 = 33,1 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Odpowiedź: x = 68,29 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Większy pierwiastek: piłka opada.
Odpowiedź: n = 29,19 rpm
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Odpowiedź: T = 20,29 N
Ruch jednostajny po okręgu: ciało poruszające się z prędkością v po okręgu o promieniu r ma przyspieszenie skierowane do środka a = v²/r, więc potrzebuje wypadkowej siły skierowanej do środka F = m·v²/r. Tę siłę zapewnia coś rzeczywistego: tarcie, naciąg nici, grawitacja albo siła reakcji.
Kierunek do środka (w górę) jest dodatni.
Odpowiedź: Wf = 38,23 J
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d).
Odpowiedź: v = 10,85 m/s
Zasada pracy i energii: zmiana energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił. Zapisanie grawitacji i sprężyn jako energii potencjalnej (mgh i ½kx²) daje bilans: energia początkowa = energia końcowa + energia stracona na tarcie (μN·d). Na torze kołowym siła wypadkowa skierowana do środka musi być równa mv²/r.
Wózek ledwo pokonuje pętlę, gdy h = 2,5R; wtedy N = 0 w najwyższym punkcie.
Odpowiedź: v′2 = 5,556 m/s
Zasada zachowania pędu: gdy podczas zderzenia nie działa żadna siła zewnętrzna, całkowity pęd Σm·v przed zderzeniem równa się całkowitemu pędowi po nim. Prędkości mają kierunek, więc wybierz kierunek dodatni i prędkościom o przeciwnym zwrocie nadaj znak minus. W zderzeniu sprężystym zachowana jest też energia kinetyczna; w doskonale niesprężystym ciała łączą się ze sobą.
Rozwiązanie razem zasad zachowania pędu i energii daje te dwa wyniki.
Odpowiedź: θ = 46,74 °
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Odpowiedź: L = 1,315 m
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Odpowiedź: amax = 26 m/s²
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Odpowiedź: L = 1 m
Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, fn = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.
Odpowiedź: λ = 633 nm
Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics