Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Trzy ładunki punktowe leżą na prostej: +6 µC po lewej, −10 µC po prawej w odległości 30 cm i −8 µC między nimi, 12 cm od lewego ładunku. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na środkowy ładunek. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +6 µCq_R = −10 µCq_M = −8 µCr_L = 12 cmr_R = 18 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Dwie identyczne małe kulki, każda o masie 1 g, wiszą w tym samym punkcie na izolujących niciach o długości 60 cm. Nadano im równe ładunki i każda nić ustala się pod kątem 10° do pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ładunek q każdej kulki w nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 60 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 75% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 10 VR = 22 ΩL = 68 mH

t = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 15 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 80 ms.

V_s = 6 VR = 4,7 kΩC = 47 µFv_C(0) = 15 Vt = 80 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 10 zwojach ma pole powierzchni 40 cm². Cewka znajduje się w jednorodnym polu 0,3 T prostopadłym do jej płaszczyzny, a pole wyłączono w czasie 250 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 10A = 40 cm²B = 0,3 TΔt = 250 ms

ε = mV

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 250 zwojach, 5 cm × 10 cm, obraca się w jednorodnym polu 0,3 T wokół osi prostopadłej do pola. Z jaką prędkością n (w obrotach na minutę) musi się obracać, aby dać skuteczną SEM 8,33 V?

N = 250A = 5 cm × 10 cmB = 0,3 TE_rms = 8,33 V

n = rpm

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i cewka są połączone równolegle i podłączone do zasilania 120 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 20 mH

|Z| = Ω

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 52,16 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła od każdego ładunku

Zwrot w prawo jest dodatni.

F_L = −k·6·8 × 10⁻¹²/0,12² = −29,97 N

F_R = −k·10·8 × 10⁻¹²/0,18² = −22,2 N

Siła wypadkowa

F = −29,97 + (−22,2) = −52,16 N → |F| = 52,16 N

Odpowiedź

F = 52,16 N

Siła wypadkowa jest skierowana w lewo.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: q = 91,4 nC

Siła elektryczna z warunku równowagi

Pozioma składowa siły naciągu równoważy F, a pionowa m·g.

F = m·g·tan θ = 0,001·9,81·tan 10° = 0,00173 N

Odległość

r = 2·L·sin θ = 2·0,6·sin 10° = 0,2084 m

Ładunek

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2084·√(0,00173/8,99 × 10⁹) = 9,14 × 10⁻⁸ C = 91,4 nC

Odpowiedź

q = 91,4 nC

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 18,97 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 8 + 15 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 10·23/(10+23) = 6,97 Ω

R_eq = R₁ + 6,97 = 12 + 6,97 = 18,97 Ω

Odpowiedź

R_eq = 18,97 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 9,27 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 4 + 8 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 8,108 Ω

R₃ + 8,108 = 14,11 Ω

R₂ ∥ 14,11 = 7,27 Ω

R_eq = R₁ + 7,27 = 2 + 7,27 = 9,27 Ω

Odpowiedź

R_eq = 9,27 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 4,285 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 68 mH / 22 Ω = 3,091 ms

i(∞) = V_s/R = 10/22 = 0,4545 A

Wyznacz czas

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −3,091·ln(0,25) = 4,285 ms

Odpowiedź

t = 4,285 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 12,27 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 47 µF = 220,9 ms

v_C(t) = 6 + (15 − 6)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(80) = 6 + (9)·e^−80/220,9 = 12,27 V

Odpowiedź

v_C = 12,27 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 48 mV

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = 0,3·0,004 = 0,0012 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,0012/0,25 = 0,048 V

Odpowiedź

ε = 48 mV

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: n = 300 rpm

Szczytowa SEM

E₀ = √2·E_rms = 11,78 V

Prędkość kątowa

ω = E₀/(NBA) = 11,78/(250·0,3·0,005) = 31,41 rad/s

Obroty na minutę

n = 60·31,41/(2π) = 300 rpm

Odpowiedź

n = 300 rpm

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 53,2 Ω

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_L = ωL = 2π·500·0,02 = 62,83 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 120/100 = 1,2 A

I_X = V/X_L = 120/62,83 = 1,91 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,2² + 1,91²) = 2,256 A

Impedancja

|Z| = V/I = 120/2,256 = 53,2 Ω

Odpowiedź

|Z| = 53,2 Ω

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 112,5 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·10·10⁻⁶)) = 112,5 Hz

Odpowiedź

f₀ = 112,5 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism