Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +8 µC i ładunek +1 µC znajdują się w odległości 30 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 12 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +8 µCq₂ = +1 µCr₁ = 12 cmr₂ = 18 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Ładunki +5 µC i +5 µC są oddalone o 8 cm. Punkt P leży 10 cm od środka odcinka między nimi, na symetralnej. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = +5 µCd = 8 cmh = 10 cm

E = N/C

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 25 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W zgromadzoną w cewce w chwili t = 1 ms, w mJ.

V_s = 24 VR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms

W = mJ

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo otwarty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się zamyka i zwiera R₂. Po jakim czasie od t = 0 prąd cewki osiągnie 0,87 A? Wyznacz t.

V_s = 24 VR₁ = 22 ΩR₂ = 15 ΩL = 100 mH

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Proton porusza się z prędkością 6 × 10⁶ m/s prostopadle do jednorodnego pola magnetycznego 1,5 T. Znajdź promień r jego toru kołowego.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁶ m/sB = 1,5 T

r = cm

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Prąd w cewce o indukcyjności 40 mH zmienia się równomiernie od 0 A do 0,5 A w czasie 50 ms. Znajdź wartość samoindukowanej SEM ε.

L = 40 mH0 A → 0,5 AΔt = 50 ms

ε = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 22 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 100 µF

V_C = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 4,717 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,12² = 4,994 × 10⁶ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,18² = 277469 N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |4,994 × 10⁶ − 277469| = 4,717 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 4,717 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 7,196 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Odległość i pole jednego ładunku

r = √(4² + 10²) = 10,77 cm

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,1077² = 3,875 × 10⁶ N/C

Składowe

Składowe wzdłuż prostej łączącej ładunki się znoszą.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·3,875 × 10⁶·0,9285 = 7,196 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 7,196 × 10⁶ N/C

Pole jest skierowane wzdłuż symetralnej, od ładunków.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 1,786 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 5 + 15 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 3·20/(3+20) = 2,609 Ω

R_eq = R₁ + 2,609 = 12 + 2,609 = 14,61 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/14,61 = 2,054 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2,054·12 = 5,357 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,357/3 = 1,786 A

Odpowiedź

I_R2 = 1,786 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 29,16 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 25 + 2 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 9,643 Ω

R₃ + 9,643 = 24,64 Ω

R₂ ∥ 24,64 = 4,157 Ω

R_eq = R₁ + 4,157 = 25 + 4,157 = 29,16 Ω

Odpowiedź

R_eq = 29,16 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W = 7,725 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms

i(∞) = V_s/R = 24/15 = 1,6 A

Prąd w danej chwili

i(t) = 1,6·(1 − e^−1/0,6667) = 1,243 A

Zgromadzona energia

W = ½·L·i² = ½·10·1,243² = 7,725 mJ

Odpowiedź

W = 7,725 mJ

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 3,155 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 w obwodzie są oba rezystory; potem zamknięty łącznik bocznikuje R₂.

i(0) = 24/(22 + 15) = 0,6486 A

i(∞) = 24/22 = 1,091 A

τ = L/R = 100/22 = 4,545 ms

i(t) = 1,091 + (0,6486 − 1,091)·e^−t/τ

Wyznacz czas

e^−t/τ = (0,87 − 1,091)/(0,6486 − 1,091) = 0,4995

t = 4,545·ln(2,002) = 3,155 ms

Odpowiedź

t = 3,155 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 4,177 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Równowaga sił

Siła magnetyczna jest zawsze prostopadła do prędkości, więc zakrzywia tor w okrąg.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Promień

r = 1,673 × 10⁻²⁷·6 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·1,5) = 0,04177 m = 4,177 cm

Odpowiedź

r = 4,177 cm

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 0,4 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM samoindukcji

SEM przeciwdziała zmianie prądu (Lenz), więc jej znak jest przeciwny do ΔI; wartość to L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,04·0,5/0,05 = 0,4 V

Odpowiedź

ε = 0,4 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −39,3 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−81,85)²) = 129,2 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−81,85/100) = −39,3°

Odpowiedź

φ = −39,3°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 14,42 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (46,71)²) = 110,4 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 50/110,4 = 0,453 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 0,453·31,83 = 14,42 V

Odpowiedź

V_C = 14,42 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism