Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunki +10 µC i +4 µC są oddalone o 40 cm. W jakiej odległości x od ładunku +10 µC, na odcinku między nimi, natężenie pola elektrycznego jest równe zeru?

q₁ = +10 µCq₂ = +4 µCd = 40 cm

x = cm

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 2 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 4 µC leży 6 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 6 µC leży 8 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 6 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 5 ms.

V_s = 15 VR = 20 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz prąd i₂ przez R₂ w chwili t = 80 ms.

V_s = 30 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 33 µFt = 80 ms

i₂ = mA

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 250 zwojach ma pole powierzchni 200 cm². Cewka znajduje się w jednorodnym polu 0,4 T prostopadłym do jej płaszczyzny, a pole wyłączono w czasie 40 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 250A = 200 cm²B = 0,4 TΔt = 40 ms

ε = V

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Krótka cewka o 100 zwojach jest ciasno nawinięta na środku długiego solenoidu o 1000 zwojach, długości 25 cm i średnicy 5 cm. Prąd w solenoidzie zmienia się z szybkością 500 A/s. Znajdź SEM ε indukowaną w krótkiej cewce.

N₁ = 1000N₂ = 100l = 25 cm⌀ = 5 cmdi/dt = 500 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 200 mHC = 22 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 47 µF

I = A

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: x = 24,5 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Równe pola

10/x² = 4/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(4/10) = 0,6325

Położenie

x = 40/(1 + 0,6325) = 24,5 cm

Odpowiedź

x = 24,5 cm

Punkt zerowy leży zawsze bliżej mniejszego ładunku.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 26,14 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·4·2 × 10⁻¹²/0,06² = 19,98 N

F₂ = k·6·2 × 10⁻¹²/0,08² = 16,86 N

Suma wektorowa

F = √(19,98² + 16,86²) = 26,14 N

Odpowiedź

F = 26,14 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,5117 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 15 + 4 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 8·19/(8+19) = 5,63 Ω

R_eq = R₁ + 5,63 = 15 + 5,63 = 20,63 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/20,63 = 0,7271 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,7271·15 = 4,093 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,093/8 = 0,5117 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,5117 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,2484 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 15 + 10 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 4,167 Ω

R₃ + 4,167 = 14,17 Ω

R₂ ∥ 14,17 = 9,623 Ω

R_eq = R₁ + 9,623 = 2 + 9,623 = 11,62 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/11,62 = 0,7744 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,7744·2 = 7,451 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,451/30 = 0,2484 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,2484 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,5777 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3,4 ms

i(∞) = V_s/R = 15/20 = 0,75 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,75·(1 − e^−5/3,4) = 0,5777 A

Odpowiedź

i = 0,5777 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i₂ = 2,616 mA

Początkowe napięcie kondensatora

W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.

v_C(0) = 30·3,3/(2,2 + 3,3) = 18 V

Stała czasowa po otwarciu łącznika

τ = R₂·C = 3,3·33 = 108,9 ms

Rozładowanie

v_C(t) = 18·e^−80/108,9 = 8,634 V

i₂ = v_C/R₂ = 8,634/3,3 = 2,616 mA

Odpowiedź

i₂ = 2,616 mA

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 50 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = 0,4·0,02 = 0,008 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,008/0,04 = 50 V

Odpowiedź

ε = 50 V

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 493,5 mV

Indukcyjność wzajemna

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1000·100·0,001963/0,25 = 987 µH

Indukowana SEM

ε = M·di/dt = 0,000987·500 = 493,5 mV

Odpowiedź

ε = 493,5 mV

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,2212 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (53,32)²) = 54,25 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 12/54,25 = 0,2212 A

Odpowiedź

I = 0,2212 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 1,657 A

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (60,39)²) = 72,43 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 120/72,43 = 1,657 A

Odpowiedź

I = 1,657 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism