Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +3 µC i ładunek +8 µC znajdują się w odległości 20 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 15 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +3 µCq₂ = +8 µCr₁ = 15 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Ładunki +2 µC i −2 µC są oddalone o 8 cm. Punkt P leży 12 cm od środka odcinka między nimi, na symetralnej. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = −2 µCd = 8 cmh = 12 cm

E = N/C

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przez cewkę płynie ustalony prąd 3 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Ile czasu potrzeba, aby prąd spadł do 0,3 A? Wyznacz t.

i(0) = 3 AR = 20 ΩL = 220 mH

t = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 8 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 10 ms.

V_s = 6 VR = 1 kΩC = 33 µFv_C(0) = 8 Vt = 10 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Przewód z prądem płynącym w prawo znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym skierowanym w głąb kartki. Kliknij kierunek siły magnetycznej działającej na przewód.

I: w prawoB: w głąb kartki

1w górę strony
2w prawo
3w dół strony
4w lewo

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 200 zwojach, 10 cm × 20 cm, obraca się z prędkością 3000 obr/min w jednorodnym polu 0,2 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź wartość skuteczną E_rms SEM.

N = 200A = 10 cm × 20 cmB = 0,2 Tn = 3000 rpm

E_rms = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z C = 0,1 µF ma być w rezonansie przy 5000 Hz. Wyznacz potrzebną indukcyjność L.

f₀ = 5000 HzC = 0,1 µF

L = mH

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 20 Ω, L = 2 mH i C = 0,22 µF. Wyznacz jego pasmo przenoszenia B (szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy) w Hz.

R = 20 ΩL = 2 mHC = 0,22 µF

B = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 2,757 × 10⁷ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,15² = 1,199 × 10⁶ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,05² = 2,877 × 10⁷ N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |1,199 × 10⁶ − 2,877 × 10⁷| = 2,757 × 10⁷ N/C

Odpowiedź

E = 2,757 × 10⁷ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 710722 N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Odległość i pole jednego ładunku

r = √(4² + 12²) = 12,65 cm

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,1265² = 1,124 × 10⁶ N/C

Składowe

Składowe wzdłuż symetralnej się znoszą.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1,124 × 10⁶·0,3162 = 710722 N/C

Odpowiedź

E = 710722 N/C

Pole jest równoległe do prostej łączącej ładunki, skierowane od ładunku dodatniego do ujemnego.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,2 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 6 + 4 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 20·10/(20+10) = 6,667 Ω

R_eq = R₁ + 6,667 = 10 + 6,667 = 16,67 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/16,67 = 0,6 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,6·10 = 4 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4/20 = 0,2 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,2 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,06 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 20 + 8 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 4,242 Ω

R₃ + 4,242 = 8,242 Ω

R₂ ∥ 8,242 = 5,319 Ω

R_eq = R₁ + 5,319 = 6 + 5,319 = 11,32 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/11,32 = 1,06 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,06 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 25,33 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms

Wyznacz czas

0,3 = 3·e^−t/τ → t = τ·ln(3/0,3)

t = 11·ln(10) = 25,33 ms

Odpowiedź

t = 25,33 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 7,477 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 1 kΩ · 33 µF = 33 ms

v_C(t) = 6 + (8 − 6)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(10) = 6 + (2)·e^−10/33 = 7,477 V

Odpowiedź

v_C = 7,477 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: w górę strony

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Reguła prawej dłoni

Skieruj palce wzdłuż prądu lub prędkości i zegnij je w stronę B; kciuk wskazuje siłę działającą na ładunek dodatni.

I: w prawo, B: w głąb kartki

Kierunek siły

w górę strony

Odpowiedź

F: w górę strony

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E_rms = 177,7 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

A = 0,02 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 200·0,2·0,02·314,2 = 251,3 V

Wartość skuteczna

E_rms = 251,3/√2 = 177,7 V

Odpowiedź

E_rms = 177,7 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: L = 10,13 mH

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·0,1·10⁻⁶) = 10,13 mH

Odpowiedź

L = 10,13 mH

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: B = 1592 Hz

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,002·0,22·10⁻⁶)) = 7587 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,002/(0,22·10⁻⁶)) = 4,767

Pasmo przenoszenia

B = f₀/Q = 7587/4,767 = 1592 Hz

Odpowiedź

B = 1592 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism