Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +6 µC i ładunek +4 µC znajdują się w odległości 40 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 30 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +6 µCq₂ = +4 µCr₁ = 30 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 6 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 4 µC leży 8 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 2 µC leży 10 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 2 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 1 ms.

V_s = 12 VR = 47 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 5 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 4,5 V, dokładnie 100 ms po starcie. Przy R = 47 kΩ wyznacz potrzebną pojemność C.

V_s = 5 VV_th = 4,5 VT = 100 msR = 47 kΩ

C = µF

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Metalowy pręt o długości 60 cm przesuwa się z prędkością 10 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 0,25 T skierowanym w głąb kartki. Szyny połączono opornikiem 1 Ω; pręt i szyny mają pomijalny opór. Znajdź prąd I.

B = 0,25 TL = 60 cmv = 10 m/sR = 1 Ω

I = A

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Deuteron: start ze spoczynku, przyspieszenie napięciem 10000 V, a następnie wejście w jednorodne pole magnetyczne 0,4 T pod kątem prostym. Znajdź promień r jego toru w polu.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0,4 T

r = cm

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i cewka są połączone równolegle i podłączone do zasilania 120 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 150 mH

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 200 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 2,997 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,3² = 599333 N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,1² = 3,596 × 10⁶ N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |599333 − 3,596 × 10⁶| = 2,997 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 2,997 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 35,4 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·4·6 × 10⁻¹²/0,08² = 33,71 N

F₂ = k·2·6 × 10⁻¹²/0,1² = 10,79 N

Suma wektorowa

F = √(33,71² + 10,79²) = 35,4 N

Odpowiedź

F = 35,4 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,946 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 6 + 15 = 21 Ω

R₂ ∥ 21 = 3·21/(3+21) = 2,625 Ω

R_eq = R₁ + 2,625 = 2 + 2,625 = 4,625 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/4,625 = 1,946 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,946 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,5305 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 8 + 2 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 5,455 Ω

R₃ + 5,455 = 25,45 Ω

R₂ ∥ 25,45 = 4,179 Ω

R_eq = R₁ + 4,179 = 10 + 4,179 = 14,18 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/14,18 = 0,6347 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,6347·10 = 2,653 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,653/5 = 0,5305 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,5305 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,1274 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1,447 ms

i(∞) = V_s/R = 12/47 = 0,2553 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2553·(1 − e^−1/1,447) = 0,1274 A

Odpowiedź

i = 0,1274 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: C = 0,924 µF

Wymagana stała czasowa

4,5 = 5·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(5/(5 − 4,5))

τ = 100/2,303 = 43,43 ms

Pojemność

kΩ razy µF daje milisekundy.

C = τ/R = 43,43/47 = 0,924 µF

Odpowiedź

C = 0,924 µF

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: I = 1,5 A

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 0,25·0,6·10 = 1,5 V

Prąd

I = ε/R = 1,5/1 = 1,5 A

Odpowiedź

I = 1,5 A

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 5,108 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Prędkość po przyspieszeniu

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·10000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 978843 m/s

Promień w polu

r = mv/(|q|B) = 0,05108 m = 5,108 cm

Odpowiedź

r = 5,108 cm

Łącznie: r = √(2mV/|q|)/B, więc cięższe jony o tym samym ładunku poruszają się po większych okręgach; tak rozdziela się izotopy.

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 4,528 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_L = ωL = 2π·60·0,15 = 56,55 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 120/30 = 4 A

I_X = V/X_L = 120/56,55 = 2,122 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(4² + 2,122²) = 4,528 A

Odpowiedź

I = 4,528 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 112,5 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·10·10⁻⁶)) = 112,5 Hz

Odpowiedź

f₀ = 112,5 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism