Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba
F = k·|q1q2|/r²
Pole ładunku punktowego
E = k·|q|/r²
Stała
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek
F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód
B = μ0I/(2πr)
Środek płaskiej cewki
B = μ0NI/(2R)
Długi solenoid
B = μ0nI, n = N/L
Stała
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód
F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek
F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Strumień
Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya
ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indukcyjność
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selektor prędkości i spektrometr
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

  1. Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
  2. Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
  3. Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
  4. Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni
++10 µC−−5 µCP60 cm

Ładunek +10 µC i ładunek −5 µC znajdują się w odległości 60 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 30 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q1 = +10 µCq2 = −5 µCr1 = 30 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny
6 cm8 cm+q1​ = +5 µC+q3​ = +6 µC+q2​ = +4 µC

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 6 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 5 µC leży 6 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 4 µC leży 8 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q1 = 5 µCq2 = 4 µCq3 = 6 µCr13 = 6 cmr23 = 8 cm
F = N
3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩIR2​AR4​20 ΩB

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 5 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​25 ΩAR4​4 ΩBR6​25 Ω

Wyznacz prąd IR1 dostarczany przez źródło, płynący przez R1.

V1 = 5 VR1 = 8 ΩR2 = 25 ΩR3 = 5 ΩR4 = 4 ΩR5 = 20 ΩR6 = 25 Ω
IR1 = A
5.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​10 Vt = 0R = 50 ΩL22 mHi(t)

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie vL na cewce w chwili t = 1 ms.

Vs = 10 VR = 50 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vL = V
6.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​24 Vt = 0R = 10 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 4 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 750 ms.

Vs = 24 VR = 10 kΩC = 33 µFvC(0) = 4 Vt = 750 ms
vC = V
7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni
IBF = ?

Przewód z prądem płynącym w lewo znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym skierowanym ku czytelnikowi. Kliknij kierunek siły magnetycznej działającej na przewód.

I: w lewoB: ku czytelnikowi
  1. 1w górę strony
  2. 2w prawo
  3. 3w dół strony
  4. 4w lewo
8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny
V = 5000 VB = 0,8 Tr = ?

Proton: start ze spoczynku, przyspieszenie napięciem 5000 V, a następnie wejście w jednorodne pole magnetyczne 0,8 T pod kątem prostym. Znajdź promień r jego toru w polu.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0,8 T
r = cm
9.Impedancja i wskazy ACŚredni
100 V200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF
φ = °
10.Impedancja i wskazy ACTrudny
230 V200 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 22 µF

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f0 obwodu.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 22 µF
f0 = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,498 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,3² = 998889 N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0,3² = 499444 N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |998889 + 499444| = 1,498 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 1,498 × 10⁶ N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 82,15 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F1 = k·5·6 × 10⁻¹²/0,06² = 74,92 N
F2 = k·4·6 × 10⁻¹²/0,08² = 33,71 N

Suma wektorowa

F = √(74,92² + 33,71²) = 82,15 N

Odpowiedź

F = 82,15 N
3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 0,3143 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAR4​20 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 2 + 20 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 10·22/(10+22) = 6,875 Ω
Req = R1 + 6,875 = 15 + 6,875 = 21,88 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 10/21,88 = 0,4571 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0,4571·15 = 3,143 V
IR2 = VA/R2 = 3,143/10 = 0,3143 A

Odpowiedź

IR2 = 0,3143 A
4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR1 = 0,3463 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 8 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​25 ΩAR4​4 ΩBR6​25 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 20 + 25 = 45 Ω
R4 ∥ 45 = 3,673 Ω
R3 + 3,673 = 8,673 Ω
R2 ∥ 8,673 = 6,439 Ω
Req = R1 + 6,439 = 8 + 6,439 = 14,44 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 5/14,44 = 0,3463 A

Odpowiedź

IR1 = 0,3463 A
5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: vL = 1,03 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 22 mH / 50 Ω = 0,44 ms
i(∞) = Vs/R = 10/50 = 0,2 A

Napięcie na cewce

W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 10·e−1/0,44 = 1,03 V

Odpowiedź

vL = 1,03 V
6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: vC = 21,94 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms
vC(t) = 24 + (4 − 24)·e−t/τ

Napięcie w danej chwili

vC(750) = 24 + (−20)·e−750/330 = 21,94 V

Odpowiedź

vC = 21,94 V
7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: w górę strony

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Reguła prawej dłoni

Skieruj palce wzdłuż prądu lub prędkości i zegnij je w stronę B; kciuk wskazuje siłę działającą na ładunek dodatni.

I: w lewo, B: ku czytelnikowi

Kierunek siły

w górę strony

Odpowiedź

F: w górę strony
8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 1,277 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Prędkość po przyspieszeniu

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·5000/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 978551 m/s

Promień w polu

r = mv/(|q|B) = 0,01277 m = 1,277 cm

Odpowiedź

r = 1,277 cm

Łącznie: r = √(2mV/|q|)/B, więc cięższe jony o tym samym ładunku poruszają się po większych okręgach; tak rozdziela się izotopy.

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −71,04 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−43,65)²) = 46,16 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−43,65/15) = −71,04°

Odpowiedź

φ = −71,04°
10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f0 = 75,87 Hz

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·22·10⁻⁶)) = 75,87 Hz

Odpowiedź

f0 = 75,87 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism