Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Dwie identyczne małe metalowe kulki mają ładunki −3 µC i −8 µC. Zetknięto je, a następnie ustawiono z powrotem w odległości 20 cm. Wyznacz wartość siły F, z jaką teraz na siebie działają. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −3 µCq₂ = −8 µCr = 20 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 2 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 5 µC leży 4 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 5 µC leży 10 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 5 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 30 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 95% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 24 VR = 100 ΩL = 22 mH

t = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo otwarty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się zamyka i zwiera R₂. Po jakim czasie od t = 0 prąd cewki osiągnie 0,914 A? Wyznacz t.

V_s = 24 VR₁ = 22 ΩR₂ = 15 ΩL = 220 mH

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Metalowy pręt o długości 25 cm przesuwa się z prędkością 8 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 0,5 T skierowanym w głąb kartki. Szyny połączono opornikiem 1 Ω; pręt i szyny mają pomijalny opór. Znajdź siłę F potrzebną do utrzymania stałej prędkości pręta (bez tarcia).

B = 0,5 TL = 25 cmv = 8 m/sR = 1 Ω

F = mN

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 500 zwojów, długość 10 cm i średnicę 3 cm. Znajdź jego samoindukcję L.

N = 500l = 10 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i kondensator są połączone równolegle i podłączone do zasilania 12 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩC = 22 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 6,799 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ładunek po zetknięciu

q′ = (−3 + −8)/2 = −5,5 µC

Nowa siła

F = 8,99 × 10⁹·(5,5 × 10⁻⁶)²/0,2² = 6,799 N

Odpowiedź

F = 6,799 N

Obie kulki mają teraz ładunek tego samego znaku, więc się odpychają.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 56,9 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·5·2 × 10⁻¹²/0,04² = 56,19 N

F₂ = k·5·2 × 10⁻¹²/0,1² = 8,99 N

Suma wektorowa

F = √(56,19² + 8,99²) = 56,9 N

Odpowiedź

F = 56,9 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,5238 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 12·10/(12+10) = 5,455 Ω

R_eq = R₁ + 5,455 = 6 + 5,455 = 11,45 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/11,45 = 0,5238 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,5238 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,6144 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 10 + 15 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 4,839 Ω

R₃ + 4,839 = 14,84 Ω

R₂ ∥ 14,84 = 2,495 Ω

R_eq = R₁ + 2,495 = 30 + 2,495 = 32,5 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/32,5 = 0,7386 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 0,7386·30 = 1,843 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,843/3 = 0,6144 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,6144 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 0,6591 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 22 mH / 100 Ω = 0,22 ms

i(∞) = V_s/R = 24/100 = 0,24 A

Wyznacz czas

0,95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)

t = −0,22·ln(0,05) = 0,6591 ms

Odpowiedź

t = 0,6591 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 9,163 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 w obwodzie są oba rezystory; potem zamknięty łącznik bocznikuje R₂.

i(0) = 24/(22 + 15) = 0,6486 A

i(∞) = 24/22 = 1,091 A

τ = L/R = 220/22 = 10 ms

i(t) = 1,091 + (0,6486 − 1,091)·e^−t/τ

Wyznacz czas

e^−t/τ = (0,914 − 1,091)/(0,6486 − 1,091) = 0,4

t = 10·ln(2,5) = 9,163 ms

Odpowiedź

t = 9,163 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: F = 125 mN

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 0,5·0,25·8 = 1 V

Prąd

I = ε/R = 1/1 = 1 A

Siła hamująca

Reguła Lenza: siła działająca na prąd indukowany przeciwdziała ruchowi.

F = BIL = 0,5·1·0,25 = 0,125 N

Odpowiedź

F = 125 mN

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: L = 2,221 mH

Przekrój poprzeczny

A = π·(0,015)² = 0,0007069 m²

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·500²·0,0007069/0,1 = 0,002221 H = 2,221 mH

Odpowiedź

L = 2,221 mH

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,4095 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 12/50 = 0,24 A

I_X = V/X_C = 12/36,17 = 0,3318 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,24² + 0,3318²) = 0,4095 A

Odpowiedź

I = 0,4095 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 225,1 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·10·10⁻⁶)) = 225,1 Hz

Odpowiedź

f₀ = 225,1 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism