Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +1 µC i ładunek +4 µC znajdują się w odległości 10 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 6 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +1 µCq₂ = +4 µCr₁ = 6 cmr₂ = 4 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 10 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 5 µC leży 3 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 6 µC leży 4 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 6 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie v_L na cewce w chwili t = 5 ms.

V_s = 20 VR = 20 ΩL = 68 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 6 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 16,8 V? Wyznacz t.

V_s = 24 VR = 2,2 kΩC = 22 µFv_C(0) = 6 V

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 50 zwojach ma pole powierzchni 20 cm². Cewkę obrócono na drugą stronę (o 180°) w jednorodnym polu 0,1 T, prostopadłym do jej płaszczyzny, w czasie 20 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 50A = 20 cm²B = 0,1 TΔt = 20 ms

ε = V

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 400 zwojów, długość 20 cm i średnicę 3 cm. Znajdź jego samoindukcję L.

N = 400l = 20 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 22 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 100 µF

V_C = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,998 × 10⁷ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,06² = 2,497 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,04² = 2,248 × 10⁷ N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |2,497 × 10⁶ − 2,248 × 10⁷| = 1,998 × 10⁷ N/C

Odpowiedź

E = 1,998 × 10⁷ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 602,6 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·5·10 × 10⁻¹²/0,03² = 499,4 N

F₂ = k·6·10 × 10⁻¹²/0,04² = 337,1 N

Suma wektorowa

F = √(499,4² + 337,1²) = 602,6 N

Odpowiedź

F = 602,6 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,071 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 5 + 3 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 8·8/(8+8) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 10 + 4 = 14 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/14 = 1,071 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,071 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,6394 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 3 + 8 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 7,639 Ω

R₃ + 7,639 = 9,639 Ω

R₂ ∥ 9,639 = 1,656 Ω

R_eq = R₁ + 1,656 = 10 + 1,656 = 11,66 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/11,66 = 0,7721 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,7721·10 = 1,279 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,279/2 = 0,6394 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,6394 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_L = 4,596 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3,4 ms

i(∞) = V_s/R = 20/20 = 1 A

Napięcie na cewce

W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 20·e^−5/3,4 = 4,596 V

Odpowiedź

v_L = 4,596 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 44,35 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 22 µF = 48,4 ms

v_C(t) = 24 + (6 − 24)·e^−t/τ

Wyznacz czas

16,8 = 24 + (−18)·e^−t/τ → e^−t/τ = (16,8 − 24)/(6 − 24) = 0,4

t = τ·ln((6 − 24)/(16,8 − 24)) = 48,4·ln(2,5) = 44,35 ms

Odpowiedź

t = 44,35 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 1 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = 2·0,1·0,002 = 0,0004 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0004/0,02 = 1 V

Odpowiedź

ε = 1 V

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: L = 710,6 µH

Przekrój poprzeczny

A = π·(0,015)² = 0,0007069 m²

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·400²·0,0007069/0,2 = 0,0007106 H = 710,6 µH

Odpowiedź

L = 710,6 µH

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −17,59 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−9,511)²) = 31,47 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−9,511/30) = −17,59°

Odpowiedź

φ = −17,59°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 24,19 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (78,33)²) = 78,97 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 120/78,97 = 1,52 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 1,52·15,92 = 24,19 V

Odpowiedź

V_C = 24,19 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism