Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Trzy ładunki punktowe leżą na prostej: +5 µC po lewej, −2 µC po prawej w odległości 20 cm i −5 µC między nimi, 5 cm od lewego ładunku. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na środkowy ładunek. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +5 µCq_R = −2 µCq_M = −5 µCr_L = 5 cmr_R = 15 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Elektron wpada w jednorodne pole między dwiema równoległymi płytami, poruszając się równolegle do nich z prędkością 2 × 10⁷ m/s. Płyty mają długość 3 cm, a natężenie pola między nimi wynosi 1900 N/C. Ładunek elektronu 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masa 9,109 × 10⁻³¹ kg; pomiń grawitację. O ile y zostanie odchylony w bok w chwili opuszczenia płyt? Podaj wynik w mm.

v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 3 cmE = 1900 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W(∞) zgromadzoną w cewce po ustaleniu się stanu obwodu, w mJ.

V_s = 20 VR = 33 ΩL = 220 mH

W(∞) = mJ

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 80 ms.

V_s = 10 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 47 µFt = 80 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Kwadratowa pętla przesuwa się w prawo do obszaru z jednorodnym polem magnetycznym skierowanym w głąb kartki. Kliknij kierunek prądu indukowanego w pętli, widziany na rysunku, gdy pętla wchodzi w pole.

B: w głąb kartkiwchodzi w pole

1zgodnie z ruchem wskazówek zegara
2przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 250 zwojach, 15 cm × 25 cm, obraca się w jednorodnym polu 0,2 T wokół osi prostopadłej do pola. Z jaką prędkością n (w obrotach na minutę) musi się obracać, aby dać skuteczną SEM 249,9 V?

N = 250A = 15 cm × 25 cmB = 0,2 TE_rms = 249,9 V

n = rpm

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 93,9 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła od każdego ładunku

Zwrot w prawo jest dodatni.

F_L = −k·5·5 × 10⁻¹²/0,05² = −89,9 N

F_R = −k·2·5 × 10⁻¹²/0,15² = −3,996 N

Siła wypadkowa

F = −89,9 + (−3,996) = −93,9 N → |F| = 93,9 N

Odpowiedź

F = 93,9 N

Siła wypadkowa jest skierowana w lewo.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: y = 0,3759 mm

Czas przelotu między płytami

t = L/v₀ = 0,03/2 × 10⁷ = 1,5 × 10⁻⁹ s

Przyspieszenie poprzeczne

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1900/9,109 × 10⁻³¹ = 3,342 × 10¹⁴ m/s²

Ugięcie

y = ½·a·t² = ½·3,342 × 10¹⁴·(1,5 × 10⁻⁹)² = 0,0003759 m = 0,3759 mm

Odpowiedź

y = 0,3759 mm

Elektron jest odpychany w stronę płyty dodatniej, przeciwnie do kierunku pola.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,3068 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 3 + 12 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 4·15/(4+15) = 3,158 Ω

R_eq = R₁ + 3,158 = 20 + 3,158 = 23,16 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/23,16 = 0,3886 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,3886·20 = 1,227 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,227/4 = 0,3068 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,3068 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 1,217 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 3 + 8 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 3,438 Ω

R₃ + 3,438 = 33,44 Ω

R₂ ∥ 33,44 = 12,51 Ω

R_eq = R₁ + 12,51 = 6 + 12,51 = 18,51 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/18,51 = 1,944 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 1,944·6 = 24,33 V

I_R2 = V_A/R₂ = 24,33/20 = 1,217 A

Odpowiedź

I_R2 = 1,217 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W(∞) = 40,4 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6,667 ms

i(∞) = V_s/R = 20/33 = 0,6061 A

Zgromadzona energia

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·220·0,6061² = 40,4 mJ

Odpowiedź

W(∞) = 40,4 mJ

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 3,481 V

Początkowe napięcie kondensatora

W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.

v_C(0) = 10·4,7/(4,7 + 4,7) = 5 V

Stała czasowa po otwarciu łącznika

τ = R₂·C = 4,7·47 = 220,9 ms

Rozładowanie

v_C(t) = 5·e^−80/220,9 = 3,481 V

Odpowiedź

v_C = 3,481 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia

Strumień w głąb kartki rośnie albo strumień ku czytelnikowi maleje.

Pole prądu indukowanego

Prąd indukowany przeciwdziała zmianie.

Pole indukowane wewnątrz pętli: ku czytelnikowi.

Kierunek prądu

Reguła prawej dłoni: prąd płynący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara daje wewnątrz pętli pole skierowane ku czytelnikowi.

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

Odpowiedź

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: n = 1800 rpm

Szczytowa SEM

E₀ = √2·E_rms = 353,4 V

Prędkość kątowa

ω = E₀/(NBA) = 353,4/(250·0,2·0,0375) = 188,5 rad/s

Obroty na minutę

n = 60·188,5/(2π) = 1800 rpm

Odpowiedź

n = 1800 rpm

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 5,277 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,05 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−40,93)²) = 43,59 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 230/43,59 = 5,277 A

Odpowiedź

I = 5,277 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 107,3 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·22·10⁻⁶)) = 107,3 Hz

Odpowiedź

f₀ = 107,3 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism