Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunki +1 µC i +2 µC są oddalone o 60 cm. W jakiej odległości x od ładunku +1 µC, na odcinku między nimi, natężenie pola elektrycznego jest równe zeru?

q₁ = +1 µCq₂ = +2 µCd = 60 cm

x = cm

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 5 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 5 µC leży 8 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 5 µC leży 8 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 5 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W zgromadzoną w cewce w chwili t = 1 ms, w mJ.

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 22 mHt = 1 ms

W = mJ

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 8 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 8,3 V? Wyznacz t.

V_s = 9 VR = 6,8 kΩC = 68 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 200 zwojach ma pole powierzchni 25 cm². Jednorodne pole prostopadłe do cewki rośnie równomiernie od 0,05 T do 0,85 T w czasie 100 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 200A = 25 cm²B: 0,05 T → 0,85 TΔt = 100 ms

ε = V

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

W selektorze prędkości skrzyżowane pola E = 2 × 10⁵ V/m i B = 0,25 T przepuszczają prosto tylko jony o jednej prędkości. Znajdź tę prędkość v.

E = 2 × 10⁵ V/mB₁ = 0,25 T

v = m/s

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z L = 2 mH ma być w rezonansie przy 500 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f₀ = 500 HzL = 2 mH

C = µF

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: x = 24,85 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Równe pola

1/x² = 2/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(2/1) = 1,414

Położenie

x = 60/(1 + 1,414) = 24,85 cm

Odpowiedź

x = 24,85 cm

Punkt zerowy leży zawsze bliżej mniejszego ładunku.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 49,66 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·5·5 × 10⁻¹²/0,08² = 35,12 N

F₂ = k·5·5 × 10⁻¹²/0,08² = 35,12 N

Suma wektorowa

F = √(35,12² + 35,12²) = 49,66 N

Odpowiedź

F = 49,66 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,1636 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 2 + 6 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 20·8/(20+8) = 5,714 Ω

R_eq = R₁ + 5,714 = 10 + 5,714 = 15,71 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/15,71 = 0,5727 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,5727·10 = 3,273 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,273/20 = 0,1636 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,1636 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,2285 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 6 + 2 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 3,429 Ω

R₃ + 3,429 = 18,43 Ω

R₂ ∥ 18,43 = 2,58 Ω

R_eq = R₁ + 2,58 = 20 + 2,58 = 22,58 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/22,58 = 0,2657 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,2657·20 = 0,6856 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,6856/3 = 0,2285 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,2285 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W = 1,372 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 22 mH / 33 Ω = 0,6667 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0,4545 A

Prąd w danej chwili

i(t) = 0,4545·(1 − e^−1/0,6667) = 0,3531 A

Zgromadzona energia

W = ½·L·i² = ½·22·0,3531² = 1,372 mJ

Odpowiedź

W = 1,372 mJ

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 164,9 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 68 µF = 462,4 ms

v_C(t) = 9 + (8 − 9)·e^−t/τ

Wyznacz czas

8,3 = 9 + (−1)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8,3 − 9)/(8 − 9) = 0,7

t = τ·ln((8 − 9)/(8,3 − 9)) = 462,4·ln(1,429) = 164,9 ms

Odpowiedź

t = 164,9 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 4 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = (0,85 − 0,05)·0,0025 = 0,002 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,002/0,1 = 4 V

Odpowiedź

ε = 4 V

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: v = 800000 m/s

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Wybrana prędkość

Bez odchylenia: siła elektryczna qE równoważy siłę magnetyczną qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁵/0,25 = 800000 m/s

Odpowiedź

v = 800000 m/s

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: C = 50,66 µF

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,002) = 50,66 µF

Odpowiedź

C = 50,66 µF

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 189,6 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·4,7·10⁻⁶)) = 189,6 Hz

Odpowiedź

f₀ = 189,6 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism