Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +6 µC i ładunek −2 µC znajdują się w odległości 20 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 15 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +6 µCq₂ = −2 µCr₁ = 15 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 4 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 1 µC leży 3 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 1 µC leży 3 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 1 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 25 ms.

V_s = 15 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 10 kΩC = 22 µFt = 25 ms

v_C = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 9 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 5,69 V, dokładnie 1000 ms po starcie. Przy C = 2,2 µF wyznacz potrzebną rezystancję R.

V_s = 9 VV_th = 5,69 VT = 1000 msC = 2,2 µF

R = kΩ

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 250 zwojach ma pole powierzchni 150 cm². Cewkę obrócono na drugą stronę (o 180°) w jednorodnym polu 0,3 T, prostopadłym do jej płaszczyzny, w czasie 200 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 250A = 150 cm²B = 0,3 TΔt = 200 ms

ε = V

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cząstka alfa przechodzi bez odchylenia przez selektor prędkości ze skrzyżowanymi polami E = 2 × 10⁵ V/m i B₁ = 0,5 T. Potem wchodzi do drugiego obszaru z samym polem magnetycznym B₂ = 0,4 T, pod kątem prostym. Znajdź promień r jego toru tam.

E = 2 × 10⁵ V/mB₁ = 0,5 TB₂ = 0,4 Tm = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z L = 10 mH ma być w rezonansie przy 1000 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f₀ = 1000 HzL = 10 mH

C = µF

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 20 Ω, L = 10 mH i C = 0,22 µF. Wyznacz jego pasmo przenoszenia B (szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy) w Hz.

R = 20 ΩL = 10 mHC = 0,22 µF

B = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 9,589 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,15² = 2,397 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,05² = 7,192 × 10⁶ N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |2,397 × 10⁶ + 7,192 × 10⁶| = 9,589 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 9,589 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 56,51 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·1·4 × 10⁻¹²/0,03² = 39,96 N

F₂ = k·1·4 × 10⁻¹²/0,03² = 39,96 N

Suma wektorowa

F = √(39,96² + 39,96²) = 56,51 N

Odpowiedź

F = 56,51 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 6,64 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 10 + 12 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 3·22/(3+22) = 2,64 Ω

R_eq = R₁ + 2,64 = 4 + 2,64 = 6,64 Ω

Odpowiedź

R_eq = 6,64 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 6,445 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 6 + 3 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 3,214 Ω

R₃ + 3,214 = 13,21 Ω

R₂ ∥ 13,21 = 2,445 Ω

R_eq = R₁ + 2,445 = 4 + 2,445 = 6,445 Ω

Odpowiedź

R_eq = 6,445 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 2,186 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć R_th; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·10/(6,8 + 10) = 4,048 kΩ

v_C(∞) = 15·10/(6,8 + 10) = 8,929 V

Stała czasowa

τ = R_th·C = 4,048·22 = 89,05 ms

Krzywa ładowania

v_C(t) = 8,929·(1 − e^−25/89,05) = 2,186 V

Odpowiedź

v_C = 2,186 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: R = 454,4 kΩ

Wymagana stała czasowa

5,69 = 9·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(9/(9 − 5,69))

τ = 1000/1 = 999,7 ms

Rezystancja

kΩ razy µF daje milisekundy.

R = τ/C = 999,7/2,2 = 454,4 kΩ

Odpowiedź

R = 454,4 kΩ

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 11,25 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = 2·0,3·0,015 = 0,009 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,009/0,2 = 11,25 V

Odpowiedź

ε = 11,25 V

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 2,074 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Wybrana prędkość

Bez odchylenia: siła elektryczna qE równoważy siłę magnetyczną qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁵/0,5 = 400000 m/s

Promień w drugim polu

r = mv/(|q|B₂) = 0,02074 m = 2,074 cm

Odpowiedź

r = 2,074 cm

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: C = 2,533 µF

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,01) = 2,533 µF

Odpowiedź

C = 2,533 µF

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: B = 318,3 Hz

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,01·0,22·10⁻⁶)) = 3393 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,01/(0,22·10⁻⁶)) = 10,66

Pasmo przenoszenia

B = f₀/Q = 3393/10,66 = 318,3 Hz

Odpowiedź

B = 318,3 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism