Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Dwie identyczne małe metalowe kulki mają ładunki +1 µC i +5 µC. Zetknięto je, a następnie ustawiono z powrotem w odległości 15 cm. Wyznacz wartość siły F, z jaką teraz na siebie działają. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = +5 µCr = 15 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Elektron wpada w jednorodne pole między dwiema równoległymi płytami, poruszając się równolegle do nich z prędkością 3 × 10⁷ m/s. Płyty mają długość 6 cm, a natężenie pola między nimi wynosi 1200 N/C. Ładunek elektronu 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masa 9,109 × 10⁻³¹ kg; pomiń grawitację. O ile y zostanie odchylony w bok w chwili opuszczenia płyt? Podaj wynik w mm.

v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 1200 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 1 ms.

V_s = 6 VR = 68 ΩL = 100 mHt = 1 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 5 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 300 ms.

V_s = 15 VR = 10 kΩC = 100 µFv_C(0) = 5 Vt = 300 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Metalowy pręt o długości 50 cm przesuwa się z prędkością 5 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 0,4 T skierowanym w głąb kartki. Szyny połączono opornikiem 2,5 Ω; pręt i szyny mają pomijalny opór. Znajdź siłę F potrzebną do utrzymania stałej prędkości pręta (bez tarcia).

B = 0,4 TL = 50 cmv = 5 m/sR = 2,5 Ω

F = mN

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cząstka alfa: start ze spoczynku, przyspieszenie napięciem 10000 V, a następnie wejście w jednorodne pole magnetyczne 0,2 T pod kątem prostym. Znajdź promień r jego toru w polu.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0,2 T

r = cm

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 1000 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 3,596 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ładunek po zetknięciu

q′ = (1 + 5)/2 = 3 µC

Nowa siła

F = 8,99 × 10⁹·(3 × 10⁻⁶)²/0,15² = 3,596 N

Odpowiedź

F = 3,596 N

Obie kulki mają teraz ładunek tego samego znaku, więc się odpychają.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: y = 0,4221 mm

Czas przelotu między płytami

t = L/v₀ = 0,06/3 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

Przyspieszenie poprzeczne

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1200/9,109 × 10⁻³¹ = 2,11 × 10¹⁴ m/s²

Ugięcie

y = ½·a·t² = ½·2,11 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,0004221 m = 0,4221 mm

Odpowiedź

y = 0,4221 mm

Elektron jest odpychany w stronę płyty dodatniej, przeciwnie do kierunku pola.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 9,81 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 2·19/(2+19) = 1,81 Ω

R_eq = R₁ + 1,81 = 8 + 1,81 = 9,81 Ω

Odpowiedź

R_eq = 9,81 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,8034 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 4 + 10 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 1,75 Ω

R₃ + 1,75 = 9,75 Ω

R₂ ∥ 9,75 = 4,937 Ω

R_eq = R₁ + 4,937 = 10 + 4,937 = 14,94 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/14,94 = 0,8034 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,8034 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,04353 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1,471 ms

i(∞) = V_s/R = 6/68 = 0,08824 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,08824·(1 − e^−1/1,471) = 0,04353 A

Odpowiedź

i = 0,04353 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 7,592 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms

v_C(t) = 15 + (5 − 15)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(300) = 15 + (−10)·e^−300/1000 = 7,592 V

Odpowiedź

v_C = 7,592 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: F = 80 mN

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 0,4·0,5·5 = 1 V

Prąd

I = ε/R = 1/2,5 = 0,4 A

Siła hamująca

Reguła Lenza: siła działająca na prąd indukowany przeciwdziała ruchowi.

F = BIL = 0,4·0,4·0,5 = 0,08 N

Odpowiedź

F = 80 mN

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 10,18 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Prędkość po przyspieszeniu

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·10000/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 982005 m/s

Promień w polu

r = mv/(|q|B) = 0,1018 m = 10,18 cm

Odpowiedź

r = 10,18 cm

Łącznie: r = √(2mV/|q|)/B, więc cięższe jony o tym samym ładunku poruszają się po większych okręgach; tak rozdziela się izotopy.

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −80,17 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−173,2)²) = 175,8 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−173,2/30) = −80,17°

Odpowiedź

φ = −80,17°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 164,2 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·47·10⁻⁶)) = 164,2 Hz

Odpowiedź

f₀ = 164,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism