Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Dwie identyczne małe metalowe kulki mają ładunki −5 µC i +10 µC. Zetknięto je, a następnie ustawiono z powrotem w odległości 5 cm. Wyznacz wartość siły F, z jaką teraz na siebie działają. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −5 µCq₂ = +10 µCr = 5 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 6 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 4 µC leży 6 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 6 µC leży 10 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 6 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie v_L na cewce w chwili t = 30 ms.

V_s = 6 VR = 20 ΩL = 220 mHt = 30 ms

v_L = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 10 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 15,6 V? Wyznacz t.

V_s = 24 VR = 3,3 kΩC = 68 µFv_C(0) = 10 V

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Metalowy pręt o długości 20 cm przesuwa się z prędkością 3 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 0,25 T skierowanym w głąb kartki. Szyny połączono opornikiem 2,5 Ω; pręt i szyny mają pomijalny opór. Znajdź prąd I.

B = 0,25 TL = 20 cmv = 3 m/sR = 2,5 Ω

I = mA

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 300 zwojów, długość 50 cm i średnicę 1 cm. Znajdź jego samoindukcję L.

N = 300l = 50 cm⌀ = 1 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i cewka są połączone równolegle i podłączone do zasilania 50 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 100 mH

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Rezystor R₁ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R₂ i kondensatora C i podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 40 ΩC = 100 µF

I = A

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 22,47 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ładunek po zetknięciu

q′ = (−5 + 10)/2 = 2,5 µC

Nowa siła

F = 8,99 × 10⁹·(2,5 × 10⁻⁶)²/0,05² = 22,47 N

Odpowiedź

F = 22,47 N

Obie kulki mają teraz ładunek tego samego znaku, więc się odpychają.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 68,11 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·4·6 × 10⁻¹²/0,06² = 59,93 N

F₂ = k·6·6 × 10⁻¹²/0,1² = 32,36 N

Suma wektorowa

F = √(59,93² + 32,36²) = 68,11 N

Odpowiedź

F = 68,11 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,315 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 6 + 5 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 2·11/(2+11) = 1,692 Ω

R_eq = R₁ + 1,692 = 12 + 1,692 = 13,69 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/13,69 = 1,315 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,315 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 1,899 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 4 + 25 = 29 Ω

R₄ ∥ 29 = 11,84 Ω

R₃ + 11,84 = 41,84 Ω

R₂ ∥ 41,84 = 4,466 Ω

R_eq = R₁ + 4,466 = 4 + 4,466 = 8,466 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/8,466 = 2,126 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 2,126·4 = 9,496 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9,496/5 = 1,899 A

Odpowiedź

I_R2 = 1,899 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_L = 0,3924 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms

i(∞) = V_s/R = 6/20 = 0,3 A

Napięcie na cewce

W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−30/11 = 0,3924 V

Odpowiedź

v_L = 0,3924 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 114,6 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 68 µF = 224,4 ms

v_C(t) = 24 + (10 − 24)·e^−t/τ

Wyznacz czas

15,6 = 24 + (−14)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15,6 − 24)/(10 − 24) = 0,6

t = τ·ln((10 − 24)/(15,6 − 24)) = 224,4·ln(1,667) = 114,6 ms

Odpowiedź

t = 114,6 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: I = 60 mA

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 0,25·0,2·3 = 0,15 V

Prąd

I = ε/R = 0,15/2,5 = 0,06 A

Odpowiedź

I = 60 mA

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: L = 17,77 µH

Przekrój poprzeczny

A = π·(0,005)² = 7,854 × 10⁻⁵ m²

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·300²·7,854 × 10⁻⁵/0,5 = 1,777 × 10⁻⁵ H = 17,77 µH

Odpowiedź

L = 17,77 µH

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 17,66 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_L = ωL = 2π·50·0,1 = 31,42 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 50/10 = 5 A

I_X = V/X_L = 50/31,42 = 1,592 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(5² + 1,592²) = 5,247 A

Kąt fazowy

Prąd cewki opóźnia się względem V, więc prąd całkowity też się opóźnia, a kąt jest dodatni.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(1,592/5) = 17,66°

Odpowiedź

φ = 17,66°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 3,043 A

Reaktancja

X_C = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Z_p na część rzeczywistą i urojoną.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 12,22 − j18,42 Ω

Impedancja całkowita

Z = 15 + 12,22 − j18,42 = 27,22 − j18,42 Ω

|Z| = √(27,22² + 18,42²) = 32,87 Ω

Prąd

I = V/|Z| = 100/32,87 = 3,043 A

Odpowiedź

I = 3,043 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism