Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Trzy ładunki punktowe leżą na prostej: +2 µC po lewej, +3 µC po prawej w odległości 10 cm i +2 µC między nimi, 6 cm od lewego ładunku. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na środkowy ładunek. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +2 µCq_R = +3 µCq_M = +2 µCr_L = 6 cmr_R = 4 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Elektron wpada w jednorodne pole między dwiema równoległymi płytami, poruszając się równolegle do nich z prędkością 4,5 × 10⁷ m/s. Płyty mają długość 10 cm, a natężenie pola między nimi wynosi 3000 N/C. Ładunek elektronu 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masa 9,109 × 10⁻³¹ kg; pomiń grawitację. O ile y zostanie odchylony w bok w chwili opuszczenia płyt? Podaj wynik w mm.

v₀ = 4,5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 3000 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 30 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 200 ms.

V_s = 15 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 68 µFt = 200 ms

v_C = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 15 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 12,5 V? Wyznacz t.

V_s = 10 VR = 10 kΩC = 68 µFv_C(0) = 15 V

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Metalowy pręt o długości 40 cm przesuwa się z prędkością 6 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 0,25 T skierowanym w głąb kartki. Szyny połączono opornikiem 4 Ω; pręt i szyny mają pomijalny opór. Znajdź moc P wydzielaną w oporniku.

B = 0,25 TL = 40 cmv = 6 m/sR = 4 Ω

P = mW

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Krótka cewka o 200 zwojach jest ciasno nawinięta na środku długiego solenoidu o 1000 zwojach, długości 30 cm i średnicy 2 cm. Prąd w solenoidzie zmienia się z szybkością 500 A/s. Znajdź SEM ε indukowaną w krótkiej cewce.

N₁ = 1000N₂ = 200l = 30 cm⌀ = 2 cmdi/dt = 500 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 23,72 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła od każdego ładunku

Zwrot w prawo jest dodatni.

F_L = +k·2·2 × 10⁻¹²/0,06² = 9,989 N

F_R = −k·3·2 × 10⁻¹²/0,04² = −33,71 N

Siła wypadkowa

F = 9,989 + (−33,71) = −23,72 N → |F| = 23,72 N

Odpowiedź

F = 23,72 N

Siła wypadkowa jest skierowana w lewo.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: y = 1,303 mm

Czas przelotu między płytami

t = L/v₀ = 0,1/4,5 × 10⁷ = 2,222 × 10⁻⁹ s

Przyspieszenie poprzeczne

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3000/9,109 × 10⁻³¹ = 5,276 × 10¹⁴ m/s²

Ugięcie

y = ½·a·t² = ½·5,276 × 10¹⁴·(2,222 × 10⁻⁹)² = 0,001303 m = 1,303 mm

Odpowiedź

y = 1,303 mm

Elektron jest odpychany w stronę płyty dodatniej, przeciwnie do kierunku pola.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,579 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 2 + 3 = 5 Ω

R₂ ∥ 5 = 10·5/(10+5) = 3,333 Ω

R_eq = R₁ + 3,333 = 3 + 3,333 = 6,333 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/6,333 = 1,579 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,579 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 32,58 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 12 + 6 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 3,273 Ω

R₃ + 3,273 = 18,27 Ω

R₂ ∥ 18,27 = 2,577 Ω

R_eq = R₁ + 2,577 = 30 + 2,577 = 32,58 Ω

Odpowiedź

R_eq = 32,58 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 8,03 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć R_th; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2,2·3,3/(2,2 + 3,3) = 1,32 kΩ

v_C(∞) = 15·3,3/(2,2 + 3,3) = 9 V

Stała czasowa

τ = R_th·C = 1,32·68 = 89,76 ms

Krzywa ładowania

v_C(t) = 9·(1 − e^−200/89,76) = 8,03 V

Odpowiedź

v_C = 8,03 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 471,3 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 10 kΩ · 68 µF = 680 ms

v_C(t) = 10 + (15 − 10)·e^−t/τ

Wyznacz czas

12,5 = 10 + (5)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12,5 − 10)/(15 − 10) = 0,5

t = τ·ln((15 − 10)/(12,5 − 10)) = 680·ln(2) = 471,3 ms

Odpowiedź

t = 471,3 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: P = 90 mW

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 0,25·0,4·6 = 0,6 V

Prąd

I = ε/R = 0,6/4 = 0,15 A

Moc

P = εI = 0,6·0,15 = 0,09 W

Odpowiedź

P = 90 mW

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 131,6 mV

Indukcyjność wzajemna

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1000·200·0,0003142/0,3 = 263,2 µH

Indukowana SEM

ε = M·di/dt = 0,0002632·500 = 131,6 mV

Odpowiedź

ε = 131,6 mV

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 2,759 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (82,01)²) = 83,37 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 230/83,37 = 2,759 A

Odpowiedź

I = 2,759 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 189,6 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·4,7·10⁻⁶)) = 189,6 Hz

Odpowiedź

f₀ = 189,6 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism