Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Dwie identyczne małe metalowe kulki mają ładunki −3 µC i −4 µC. Zetknięto je, a następnie ustawiono z powrotem w odległości 40 cm. Wyznacz wartość siły F, z jaką teraz na siebie działają. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −3 µCq₂ = −4 µCr = 40 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 5 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 8 µC leży 4 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 4 µC leży 8 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 8 µCq₂ = 4 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 25 ms.

V_s = 30 VR₁ = 1 kΩR₂ = 1 kΩC = 100 µFt = 25 ms

v_C = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 9 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 8,1 V, dokładnie 1000 ms po starcie. Przy R = 100 kΩ wyznacz potrzebną pojemność C.

V_s = 9 VV_th = 8,1 VT = 1000 msR = 100 kΩ

C = µF

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Metalowy pręt o długości 80 cm przesuwa się z prędkością 5 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 0,4 T skierowanym w głąb kartki. Szyny połączono opornikiem 1 Ω; pręt i szyny mają pomijalny opór. Znajdź moc P wydzielaną w oporniku.

B = 0,4 TL = 80 cmv = 5 m/sR = 1 Ω

P = W

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Prąd w cewce o indukcyjności 500 mH zmienia się równomiernie od 3,5 A do 2 A w czasie 10 ms. Znajdź wartość samoindukowanej SEM ε.

L = 500 mH3,5 A → 2 AΔt = 10 ms

ε = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 22 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Rezystor R₁ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R₂ i kondensatora C i podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 40 ΩC = 100 µF

|Z| = Ω

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 0,6883 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ładunek po zetknięciu

q′ = (−3 + −4)/2 = −3,5 µC

Nowa siła

F = 8,99 × 10⁹·(3,5 × 10⁻⁶)²/0,4² = 0,6883 N

Odpowiedź

F = 0,6883 N

Obie kulki mają teraz ładunek tego samego znaku, więc się odpychają.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 226,5 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·8·5 × 10⁻¹²/0,04² = 224,7 N

F₂ = k·4·5 × 10⁻¹²/0,08² = 28,09 N

Suma wektorowa

F = √(224,7² + 28,09²) = 226,5 N

Odpowiedź

F = 226,5 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,306 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 8 + 8 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 2·16/(2+16) = 1,778 Ω

R_eq = R₁ + 1,778 = 12 + 1,778 = 13,78 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/13,78 = 1,306 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,306 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 29,51 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 5 + 10 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 6 Ω

R₃ + 6 = 26 Ω

R₂ ∥ 26 = 9,512 Ω

R_eq = R₁ + 9,512 = 20 + 9,512 = 29,51 Ω

Odpowiedź

R_eq = 29,51 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 5,902 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć R_th; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·1/(1 + 1) = 0,5 kΩ

v_C(∞) = 30·1/(1 + 1) = 15 V

Stała czasowa

τ = R_th·C = 0,5·100 = 50 ms

Krzywa ładowania

v_C(t) = 15·(1 − e^−25/50) = 5,902 V

Odpowiedź

v_C = 5,902 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: C = 4,343 µF

Wymagana stała czasowa

8,1 = 9·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(9/(9 − 8,1))

τ = 1000/2,303 = 434,3 ms

Pojemność

kΩ razy µF daje milisekundy.

C = τ/R = 434,3/100 = 4,343 µF

Odpowiedź

C = 4,343 µF

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: P = 2,56 W

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 0,4·0,8·5 = 1,6 V

Prąd

I = ε/R = 1,6/1 = 1,6 A

Moc

P = εI = 1,6·1,6 = 2,56 W

Odpowiedź

P = 2,56 W

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 75 V

SEM samoindukcji

SEM przeciwdziała zmianie prądu (Lenz), więc jej znak jest przeciwny do ΔI; wartość to L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,5·1,5/0,01 = 75 V

Odpowiedź

ε = 75 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 31,15 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (48,36)²) = 93,48 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(48,36/80) = 31,15°

Odpowiedź

φ = 31,15°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 68,35 Ω

Reaktancja

X_C = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Z_p na część rzeczywistą i urojoną.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 15,51 − j19,49 Ω

Impedancja całkowita

Z = 50 + 15,51 − j19,49 = 65,51 − j19,49 Ω

|Z| = √(65,51² + 19,49²) = 68,35 Ω

Odpowiedź

|Z| = 68,35 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism