Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +10 µC i ładunek −2 µC znajdują się w odległości 50 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 30 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +10 µCq₂ = −2 µCr₁ = 30 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 8 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 3 µC leży 6 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 4 µC leży 4 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 4 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przez cewkę płynie ustalony prąd 0,5 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Ile czasu potrzeba, aby prąd spadł do 0,05 A? Wyznacz t.

i(0) = 0,5 AR = 100 ΩL = 33 mH

t = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo otwarty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się zamyka i zwiera R₂. Wyznacz prąd cewki i w chwili t = 1 ms.

V_s = 9 VR₁ = 47 ΩR₂ = 22 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 10 zwojach, polu powierzchni 20 cm² i oporze 2 Ω tworzy obwód zamknięty. Jednorodne pole prostopadłe do cewki rośnie równomiernie od 0,1 T do 0,6 T w czasie 500 ms. Znajdź średni prąd indukowany I.

N = 10A = 20 cm²B: 0,1 T → 0,6 TΔt = 500 msR = 2 Ω

I = mA

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 50 zwojach, 20 cm × 10 cm, obraca się z prędkością 1500 obr/min w jednorodnym polu 0,5 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź wartość skuteczną E_rms SEM.

N = 50A = 20 cm × 10 cmB = 0,5 Tn = 1500 rpm

E_rms = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z C = 4,7 µF ma być w rezonansie przy 100 Hz. Wyznacz potrzebną indukcyjność L.

f₀ = 100 HzC = 4,7 µF

L = mH

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 10 µF

V_C = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,448 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,3² = 998889 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,2² = 449500 N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |998889 + 449500| = 1,448 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 1,448 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 189,5 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·3·8 × 10⁻¹²/0,06² = 59,93 N

F₂ = k·4·8 × 10⁻¹²/0,04² = 179,8 N

Suma wektorowa

F = √(59,93² + 179,8²) = 189,5 N

Odpowiedź

F = 189,5 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 13,2 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 15 + 3 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 12·18/(12+18) = 7,2 Ω

R_eq = R₁ + 7,2 = 6 + 7,2 = 13,2 Ω

Odpowiedź

R_eq = 13,2 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 1,372 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 20 + 8 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 1,867 Ω

R₃ + 1,867 = 6,867 Ω

R₂ ∥ 6,867 = 2,528 Ω

R_eq = R₁ + 2,528 = 3 + 2,528 = 5,528 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/5,528 = 2,171 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 2,171·3 = 5,487 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,487/4 = 1,372 A

Odpowiedź

I_R2 = 1,372 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 0,7599 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0,33 ms

Wyznacz czas

0,05 = 0,5·e^−t/τ → t = τ·ln(0,5/0,05)

t = 0,33·ln(10) = 0,7599 ms

Odpowiedź

t = 0,7599 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,1609 A

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 w obwodzie są oba rezystory; potem zamknięty łącznik bocznikuje R₂.

i(0) = 9/(47 + 22) = 0,1304 A

i(∞) = 9/47 = 0,1915 A

τ = L/R = 68/47 = 1,447 ms

i(t) = 0,1915 + (0,1304 − 0,1915)·e^−t/τ

Prąd w danej chwili

i(1) = 0,1915 + (−0,06105)·e^−1/1,447 = 0,1609 A

Odpowiedź

i = 0,1609 A

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: I = 10 mA

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = (0,6 − 0,1)·0,002 = 0,001 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,001/0,5 = 0,02 V

Prąd

I = ε/R = 0,02/2 = 0,01 A

Odpowiedź

I = 10 mA

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E_rms = 55,54 V

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

A = 0,02 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 50·0,5·0,02·157,1 = 78,54 V

Wartość skuteczna

E_rms = 78,54/√2 = 55,54 V

Odpowiedź

E_rms = 55,54 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: L = 538,9 mH

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(628,3²·4,7·10⁻⁶) = 538,9 mH

Odpowiedź

L = 538,9 mH

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 10,95 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (171,7)²) = 174,4 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 24/174,4 = 0,1377 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 0,1377·79,58 = 10,95 V

Odpowiedź

V_C = 10,95 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism