Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +6 µC i ładunek −5 µC znajdują się w odległości 60 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 30 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +6 µCq₂ = −5 µCr₁ = 30 cmr₂ = 30 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 8 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 1 µC leży 4 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 5 µC leży 5 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 5 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W(∞) zgromadzoną w cewce po ustaleniu się stanu obwodu, w mJ.

V_s = 10 VR = 10 ΩL = 100 mH

W(∞) = mJ

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 5 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 2,5 V, dokładnie 500 ms po starcie. Przy C = 4,7 µF wyznacz potrzebną rezystancję R.

V_s = 5 VV_th = 2,5 VT = 500 msC = 4,7 µF

R = kΩ

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 100 zwojach ma pole powierzchni 100 cm². Jednorodne pole prostopadłe do cewki rośnie równomiernie od 0,2 T do 1 T w czasie 200 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 100A = 100 cm²B: 0,2 T → 1 TΔt = 200 ms

ε = V

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 2000 zwojów, długość 50 cm i średnicę 2,5 cm. Znajdź energię W zgromadzoną w jego polu magnetycznym, gdy płynie przez niego prąd 1,5 A.

N = 2000l = 50 cm⌀ = 2,5 cmI = 1,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i cewka są połączone równolegle i podłączone do zasilania 120 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 200 mH

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 5 Ω, L = 50 mH i C = 10 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.

R = 5 ΩL = 50 mHC = 10 µF

Q =

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,099 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,3² = 599333 N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,3² = 499444 N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |599333 + 499444| = 1,099 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 1,099 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 150,7 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·1·8 × 10⁻¹²/0,04² = 44,95 N

F₂ = k·5·8 × 10⁻¹²/0,05² = 143,8 N

Suma wektorowa

F = √(44,95² + 143,8²) = 150,7 N

Odpowiedź

F = 150,7 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,5316 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 10 + 4 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 20·14/(20+14) = 8,235 Ω

R_eq = R₁ + 8,235 = 15 + 8,235 = 23,24 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/23,24 = 1,291 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1,291·15 = 10,63 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,63/20 = 0,5316 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,5316 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 3,422 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 10 + 3 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 2,438 Ω

R₃ + 2,438 = 10,44 Ω

R₂ ∥ 10,44 = 1,678 Ω

R_eq = R₁ + 1,678 = 2 + 1,678 = 3,678 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/3,678 = 4,078 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 4,078·2 = 6,844 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,844/2 = 3,422 A

Odpowiedź

I_R2 = 3,422 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W(∞) = 50 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 100 mH / 10 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 10/10 = 1 A

Zgromadzona energia

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·1² = 50 mJ

Odpowiedź

W(∞) = 50 mJ

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: R = 153,5 kΩ

Wymagana stała czasowa

2,5 = 5·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(5/(5 − 2,5))

τ = 500/0,6931 = 721,3 ms

Rezystancja

kΩ razy µF daje milisekundy.

R = τ/C = 721,3/4,7 = 153,5 kΩ

Odpowiedź

R = 153,5 kΩ

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 4 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = (1 − 0,2)·0,01 = 0,008 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,008/0,2 = 4 V

Odpowiedź

ε = 4 V

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: W = 5,552 mJ

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 4,935 mH

Zgromadzona energia

W = ½LI² = ½·0,004935·1,5² = 0,005552 J = 5,552 mJ

Odpowiedź

W = 5,552 mJ

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 2,88 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_L = ωL = 2π·60·0,2 = 75,4 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 120/50 = 2,4 A

I_X = V/X_L = 120/75,4 = 1,592 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,4² + 1,592²) = 2,88 A

Odpowiedź

I = 2,88 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: Q = 14,14

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,05·10·10⁻⁶)) = 225,1 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,05/(10·10⁻⁶)) = 14,14

Odpowiedź

Q = 14,14

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism