Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Trzy ładunki punktowe leżą na prostej: +6 µC po lewej, −3 µC po prawej w odległości 30 cm i −6 µC między nimi, 22,5 cm od lewego ładunku. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na środkowy ładunek. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +6 µCq_R = −3 µCq_M = −6 µCr_L = 22,5 cmr_R = 7,5 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Ładunki +2 µC i −2 µC są oddalone o 6 cm. Punkt P leży 10 cm od środka odcinka między nimi, na symetralnej. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = −2 µCd = 6 cmh = 10 cm

E = N/C

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 2 ms.

V_s = 9 VR = 20 ΩL = 33 mHt = 2 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 12 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 7,2 V, dokładnie 500 ms po starcie. Przy C = 100 µF wyznacz potrzebną rezystancję R.

V_s = 12 VV_th = 7,2 VT = 500 msC = 100 µF

R = kΩ

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Elektron porusza się po okręgu w jednorodnym polu magnetycznym 1 mT. Znajdź czas T jednego obiegu.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 1 mT

T = ns

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 150 zwojach, 20 cm × 10 cm, obraca się z prędkością 3000 obr/min w jednorodnym polu 0,05 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź wartość skuteczną E_rms SEM.

N = 150A = 20 cm × 10 cmB = 0,05 Tn = 3000 rpm

E_rms = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

cos φ =

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 1 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 35,16 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła od każdego ładunku

Zwrot w prawo jest dodatni.

F_L = −k·6·6 × 10⁻¹²/0,225² = −6,393 N

F_R = −k·3·6 × 10⁻¹²/0,075² = −28,77 N

Siła wypadkowa

F = −6,393 + (−28,77) = −35,16 N → |F| = 35,16 N

Odpowiedź

F = 35,16 N

Siła wypadkowa jest skierowana w lewo.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 947984 N/C

Odległość i pole jednego ładunku

r = √(3² + 10²) = 10,44 cm

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,1044² = 1,65 × 10⁶ N/C

Składowe

Składowe wzdłuż symetralnej się znoszą.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1,65 × 10⁶·0,2873 = 947984 N/C

Odpowiedź

E = 947984 N/C

Pole jest równoległe do prostej łączącej ładunki, skierowane od ładunku dodatniego do ujemnego.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,2477 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 10 + 8 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 2·18/(2+18) = 1,8 Ω

R_eq = R₁ + 1,8 = 20 + 1,8 = 21,8 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/21,8 = 0,2752 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,2752·20 = 0,4954 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,4954/2 = 0,2477 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,2477 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 7,109 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 5 + 3 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 5,217 Ω

R₃ + 5,217 = 8,217 Ω

R₂ ∥ 8,217 = 3,109 Ω

R_eq = R₁ + 3,109 = 4 + 3,109 = 7,109 Ω

Odpowiedź

R_eq = 7,109 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,3161 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms

i(∞) = V_s/R = 9/20 = 0,45 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,45·(1 − e^−2/1,65) = 0,3161 A

Odpowiedź

i = 0,3161 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: R = 5,457 kΩ

Wymagana stała czasowa

7,2 = 12·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(12/(12 − 7,2))

τ = 500/0,9163 = 545,7 ms

Rezystancja

kΩ razy µF daje milisekundy.

R = τ/C = 545,7/100 = 5,457 kΩ

Odpowiedź

R = 5,457 kΩ

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: T = 35,73 ns

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Okres ruchu po okręgu

Szybsza cząstka porusza się po większym okręgu, więc czas obiegu pozostaje ten sam.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·9,109 × 10⁻³¹/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,001) = 35,73 ns

Odpowiedź

T = 35,73 ns

Prędkość nie jest potrzebna: dlatego cyklotron może używać jednej stałej częstotliwości.

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E_rms = 33,32 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

A = 0,02 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 150·0,05·0,02·314,2 = 47,12 V

Wartość skuteczna

E_rms = 47,12/√2 = 33,32 V

Odpowiedź

E_rms = 33,32 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: cos φ = 0,5904

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

X_L = 251,3 Ω, X_C = 169,3 Ω

Impedancja

|Z| = √(60² + (82,01)²) = 101,6 Ω

Współczynnik mocy

cos φ = R/|Z| = 60/101,6 = 0,5904

Obwód jest indukcyjny, więc współczynnik mocy ma charakter indukcyjny.

Odpowiedź

cos φ = 0,5904

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 318,3 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,25·1·10⁻⁶)) = 318,3 Hz

Odpowiedź

f₀ = 318,3 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism