Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +2 µC i ładunek −4 µC znajdują się w odległości 10 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 7,5 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +2 µCq₂ = −4 µCr₁ = 7,5 cmr₂ = 2,5 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 5 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 10 µC leży 3 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 8 µC leży 8 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 8 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 2 ms.

V_s = 5 VR = 20 ΩL = 33 mHt = 2 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 9 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 8,1 V, dokładnie 25 ms po starcie. Przy R = 47 kΩ wyznacz potrzebną pojemność C.

V_s = 9 VV_th = 8,1 VT = 25 msR = 47 kΩ

C = µF

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Kołowa pętla leży w jednorodnym polu magnetycznym skierowanym w głąb kartki. Natężenie pola maleje. Kliknij kierunek prądu indukowanego w pętli, widziany na rysunku.

B: w głąb kartkidB/dt < 0

1zgodnie z ruchem wskazówek zegara
2przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 50 zwojach, 10 cm × 10 cm, obraca się z prędkością 600 obr/min w jednorodnym polu 0,1 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź szczytową SEM E₀.

N = 50A = 10 cm × 10 cmB = 0,1 Tn = 600 rpm

E₀ = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z L = 20 mH ma być w rezonansie przy 500 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f₀ = 500 HzL = 20 mH

C = µF

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 100 µF

I = A

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 6,073 × 10⁷ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,075² = 3,196 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,025² = 5,754 × 10⁷ N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |3,196 × 10⁶ + 5,754 × 10⁷| = 6,073 × 10⁷ N/C

Odpowiedź

E = 6,073 × 10⁷ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 502,6 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·10·5 × 10⁻¹²/0,03² = 499,4 N

F₂ = k·8·5 × 10⁻¹²/0,08² = 56,19 N

Suma wektorowa

F = √(499,4² + 56,19²) = 502,6 N

Odpowiedź

F = 502,6 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 13,71 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 4 + 4 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 20·8/(20+8) = 5,714 Ω

R_eq = R₁ + 5,714 = 8 + 5,714 = 13,71 Ω

Odpowiedź

R_eq = 13,71 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 15,33 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 10 + 2 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 4 Ω

R₃ + 4 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 13,33 Ω

R_eq = R₁ + 13,33 = 2 + 13,33 = 15,33 Ω

Odpowiedź

R_eq = 15,33 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,1756 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms

i(∞) = V_s/R = 5/20 = 0,25 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,25·(1 − e^−2/1,65) = 0,1756 A

Odpowiedź

i = 0,1756 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: C = 0,231 µF

Wymagana stała czasowa

8,1 = 9·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(9/(9 − 8,1))

τ = 25/2,303 = 10,86 ms

Pojemność

kΩ razy µF daje milisekundy.

C = τ/R = 10,86/47 = 0,231 µF

Odpowiedź

C = 0,231 µF

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia

Strumień ku czytelnikowi rośnie albo strumień w głąb kartki maleje.

Pole prądu indukowanego

Prąd indukowany przeciwdziała zmianie.

Pole indukowane wewnątrz pętli: w głąb kartki.

Kierunek prądu

Reguła prawej dłoni: prąd płynący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara daje wewnątrz pętli pole skierowane ku czytelnikowi.

zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Odpowiedź

zgodnie z ruchem wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E₀ = 3,142 V

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·600/60 = 62,83 rad/s

A = 0,01 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 50·0,1·0,01·62,83 = 3,142 V

Odpowiedź

E₀ = 3,142 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: C = 5,066 µF

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,02) = 5,066 µF

Odpowiedź

C = 5,066 µF

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 1,266 A

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (78,33)²) = 78,97 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 100/78,97 = 1,266 A

Odpowiedź

I = 1,266 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism