Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +6 µC i ładunek +4 µC znajdują się w odległości 10 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 6 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +6 µCq₂ = +4 µCr₁ = 6 cmr₂ = 4 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 6 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 2 µC leży 10 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 5 µC leży 5 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 5 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 90% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 5 VR = 22 ΩL = 10 mH

t = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 5 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 4,5 V, dokładnie 20 ms po starcie. Przy R = 100 kΩ wyznacz potrzebną pojemność C.

V_s = 5 VV_th = 4,5 VT = 20 msR = 100 kΩ

C = µF

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 50 zwojach ma pole powierzchni 50 cm². Cewkę obrócono na drugą stronę (o 180°) w jednorodnym polu 0,3 T, prostopadłym do jej płaszczyzny, w czasie 20 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 50A = 50 cm²B = 0,3 TΔt = 20 ms

ε = V

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Krótka cewka o 100 zwojach jest ciasno nawinięta na środku długiego solenoidu o 500 zwojach, długości 30 cm i średnicy 5 cm. Prąd w solenoidzie zmienia się z szybkością 100 A/s. Znajdź SEM ε indukowaną w krótkiej cewce.

N₁ = 500N₂ = 100l = 30 cm⌀ = 5 cmdi/dt = 100 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 7,492 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,06² = 1,498 × 10⁷ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,04² = 2,248 × 10⁷ N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |1,498 × 10⁷ − 2,248 × 10⁷| = 7,492 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 7,492 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 108,4 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·2·6 × 10⁻¹²/0,1² = 10,79 N

F₂ = k·5·6 × 10⁻¹²/0,05² = 107,9 N

Suma wektorowa

F = √(10,79² + 107,9²) = 108,4 N

Odpowiedź

F = 108,4 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 1,622 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 4 + 20 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 10·24/(10+24) = 7,059 Ω

R_eq = R₁ + 7,059 = 6 + 7,059 = 13,06 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/13,06 = 2,297 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2,297·6 = 16,22 V

I_R2 = V_A/R₂ = 16,22/10 = 1,622 A

Odpowiedź

I_R2 = 1,622 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 1,055 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 20 + 10 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 15 Ω

R₃ + 15 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 6,512 Ω

R_eq = R₁ + 6,512 = 12 + 6,512 = 18,51 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/18,51 = 1,296 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,296·12 = 8,442 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,442/8 = 1,055 A

Odpowiedź

I_R2 = 1,055 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 1,047 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0,4545 ms

i(∞) = V_s/R = 5/22 = 0,2273 A

Wyznacz czas

0,9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)

t = −0,4545·ln(0,1) = 1,047 ms

Odpowiedź

t = 1,047 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: C = 0,08686 µF

Wymagana stała czasowa

4,5 = 5·(1 − e^−20/τ) → τ = 20/ln(5/(5 − 4,5))

τ = 20/2,303 = 8,686 ms

Pojemność

kΩ razy µF daje milisekundy.

C = τ/R = 8,686/100 = 0,08686 µF

Odpowiedź

C = 0,08686 µF

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 7,5 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = 2·0,3·0,005 = 0,003 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,003/0,02 = 7,5 V

Odpowiedź

ε = 7,5 V

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 41,12 mV

Indukcyjność wzajemna

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·500·100·0,001963/0,3 = 411,2 µH

Indukowana SEM

ε = M·di/dt = 0,0004112·100 = 41,12 mV

Odpowiedź

ε = 41,12 mV

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 2,25 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−101,7)²) = 102,2 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 230/102,2 = 2,25 A

Odpowiedź

I = 2,25 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 164,2 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·47·10⁻⁶)) = 164,2 Hz

Odpowiedź

f₀ = 164,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism