Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba
F = k·|q1q2|/r²
Pole ładunku punktowego
E = k·|q|/r²
Stała
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek
F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód
B = μ0I/(2πr)
Środek płaskiej cewki
B = μ0NI/(2R)
Długi solenoid
B = μ0nI, n = N/L
Stała
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód
F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek
F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Strumień
Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya
ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indukcyjność
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selektor prędkości i spektrometr
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

  1. Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
  2. Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
  3. Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
  4. Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni
++10 µC++2 µCP20 cm

Ładunek +10 µC i ładunek +2 µC znajdują się w odległości 20 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 10 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q1 = +10 µCq2 = +2 µCr1 = 10 cmr2 = 10 cm
E = N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny
3 cm4 cm+q1​ = +2 µC+q3​ = +6 µC+q2​ = +4 µC

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 6 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 2 µC leży 3 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 4 µC leży 4 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q1 = 2 µCq2 = 4 µCq3 = 6 µCr13 = 3 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​3 ΩB

Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.

V1 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 30 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​25 ΩAR4​3 ΩBR6​5 Ω

Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.

V1 = 5 VR1 = 30 ΩR2 = 25 ΩR3 = 30 ΩR4 = 3 ΩR5 = 4 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
5.Stany nieustalone RC i RLŚredni
R = 22 Ωt = 0L47 mHi(t)

Przez cewkę płynie ustalony prąd 2,5 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Wyznacz napięcie vR na R w chwili t = 5 ms.

i(0) = 2,5 AR = 22 ΩL = 47 mHt = 5 ms
vR = V
6.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​24 Votwiera się w t = 0R1​ = 6,8 kΩR2​ = 1 kΩC100 µF+−vC​

Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 150 ms.

Vs = 24 VR1 = 6,8 kΩR2 = 1 kΩC = 100 µFt = 150 ms
vC = V
7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni
+vBF = ?

Proton porusza się w górę strony w jednorodnym polu magnetycznym skierowanym ku czytelnikowi. Kliknij kierunek działającej na niego siły magnetycznej.

v: w górę stronyB: ku czytelnikowi
  1. 1w górę strony
  2. 2w prawo
  3. 3w dół strony
  4. 4w lewo
8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny
E = 4 × 10⁴ V/m, B1​ = 0,2 TB2​ = 0,4 Tr = ?

Cząstka alfa przechodzi bez odchylenia przez selektor prędkości ze skrzyżowanymi polami E = 4 × 10⁴ V/m i B₁ = 0,2 T. Potem wchodzi do drugiego obszaru z samym polem magnetycznym B₂ = 0,4 T, pod kątem prostym. Znajdź promień r jego toru tam.

E = 4 × 10⁴ V/mB1 = 0,2 TB2 = 0,4 Tm = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.Impedancja i wskazy ACŚredni
120 V200 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 2,2 µFI

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz moc czynną P pobieraną z zasilania.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF
P = W
10.Impedancja i wskazy ACTrudny
24 V50 HzR1​ = 50 ΩR2​ = 40 ΩC = 100 µF

Rezystor R1 jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R2 i kondensatora C i podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR1 = 50 ΩR2 = 40 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 7,192 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,1² = 8,99 × 10⁶ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0,1² = 1,798 × 10⁶ N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |8,99 × 10⁶ − 1,798 × 10⁶| = 7,192 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 7,192 × 10⁶ N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 180,4 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F1 = k·2·6 × 10⁻¹²/0,03² = 119,9 N
F2 = k·4·6 × 10⁻¹²/0,04² = 134,8 N

Suma wektorowa

F = √(119,9² + 134,8²) = 180,4 N

Odpowiedź

F = 180,4 N
3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: Req = 8,438 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​3 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 10 + 3 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 3·13/(3+13) = 2,438 Ω
Req = R1 + 2,438 = 6 + 2,438 = 8,438 Ω

Odpowiedź

Req = 8,438 Ω
4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: Req = 44,08 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 30 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​25 ΩAR4​3 ΩBR6​5 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 4 + 5 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 2,25 Ω
R3 + 2,25 = 32,25 Ω
R2 ∥ 32,25 = 14,08 Ω
Req = R1 + 14,08 = 30 + 14,08 = 44,08 Ω

Odpowiedź

Req = 44,08 Ω
5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: vR = 5,296 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 47 mH / 22 Ω = 2,136 ms

Zanik prądu

i(t) = 2,5·e−5/2,136 = 0,2407 A
vR = R·i = 22·0,2407 = 5,296 V

Odpowiedź

vR = 5,296 V
6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: vC = 0,6866 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Początkowe napięcie kondensatora

W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.

vC(0) = 24·1/(6,8 + 1) = 3,077 V

Stała czasowa po otwarciu łącznika

τ = R2·C = 1·100 = 100 ms

Rozładowanie

vC(t) = 3,077·e−150/100 = 0,6866 V

Odpowiedź

vC = 0,6866 V
7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: w prawo

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Reguła prawej dłoni

Skieruj palce wzdłuż prądu lub prędkości i zegnij je w stronę B; kciuk wskazuje siłę działającą na ładunek dodatni.

v: w górę strony, B: ku czytelnikowi

Kierunek siły

w prawo

Odpowiedź

F: w prawo
8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 1,037 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Wybrana prędkość

Bez odchylenia: siła elektryczna qE równoważy siłę magnetyczną qvB.

v = E/B1 = 4 × 10⁴/0,2 = 200000 m/s

Promień w drugim polu

r = mv/(|q|B2) = 0,01037 m = 1,037 cm

Odpowiedź

r = 1,037 cm
9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: P = 10,05 W

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

XL = 125,7 Ω, XC = 361,7 Ω

Impedancja

|Z| = √(40² + (−236,1)²) = 239,4 Ω

Moc czynna

Cewki i kondensatory tylko gromadzą i oddają energię; całą moc czynną pobiera rezystor.

I = 120/239,4 = 0,5012 A
P = I²·R = 0,5012²·40 = 10,05 W

Odpowiedź

P = 10,05 W
10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 68,35 Ω

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

XC = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Zp na część rzeczywistą i urojoną.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 15,51 − j19,49 Ω

Impedancja całkowita

Z = 50 + 15,51 − j19,49 = 65,51 − j19,49 Ω
|Z| = √(65,51² + 19,49²) = 68,35 Ω

Odpowiedź

|Z| = 68,35 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism