Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Dwie identyczne małe metalowe kulki mają ładunki +1 µC i +3 µC. Zetknięto je, a następnie ustawiono z powrotem w odległości 50 cm. Wyznacz wartość siły F, z jaką teraz na siebie działają. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = +3 µCr = 50 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Dwie identyczne małe kulki, każda o masie 1 g, wiszą w tym samym punkcie na izolujących niciach o długości 50 cm. Nadano im równe ładunki i każda nić ustala się pod kątem 10° do pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ładunek q każdej kulki w nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 50 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz stałą czasową τ obwodu po zamknięciu łącznika.

V_s = 10 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 68 µF

τ = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 9 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 7,2 V, dokładnie 25 ms po starcie. Przy R = 22 kΩ wyznacz potrzebną pojemność C.

V_s = 9 VV_th = 7,2 VT = 25 msR = 22 kΩ

C = µF

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cząstka alfa porusza się po okręgu w jednorodnym polu magnetycznym 1,5 T. Znajdź czas T jednego obiegu.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CB = 1,5 T

T = ns

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Prąd w cewce o indukcyjności 200 mH zmienia się równomiernie od 0 A do 1 A w czasie 20 ms. Znajdź wartość samoindukowanej SEM ε.

L = 200 mH0 A → 1 AΔt = 20 ms

ε = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 10 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 20 Ω, L = 20 mH i C = 1 µF. Wyznacz jego pasmo przenoszenia B (szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy) w Hz.

R = 20 ΩL = 20 mHC = 1 µF

B = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 0,1438 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ładunek po zetknięciu

q′ = (1 + 3)/2 = 2 µC

Nowa siła

F = 8,99 × 10⁹·(2 × 10⁻⁶)²/0,5² = 0,1438 N

Odpowiedź

F = 0,1438 N

Obie kulki mają teraz ładunek tego samego znaku, więc się odpychają.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: q = 76,17 nC

Siła elektryczna z warunku równowagi

Pozioma składowa siły naciągu równoważy F, a pionowa m·g.

F = m·g·tan θ = 0,001·9,81·tan 10° = 0,00173 N

Odległość

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 10° = 0,1736 m

Ładunek

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1736·√(0,00173/8,99 × 10⁹) = 7,617 × 10⁻⁸ C = 76,17 nC

Odpowiedź

q = 76,17 nC

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,8839 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 6 + 5 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 12·11/(12+11) = 5,739 Ω

R_eq = R₁ + 5,739 = 4 + 5,739 = 9,739 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/9,739 = 1,848 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,848·4 = 10,61 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,61/12 = 0,8839 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,8839 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,3591 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 6 + 10 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 1,778 Ω

R₃ + 1,778 = 11,78 Ω

R₂ ∥ 11,78 = 1,71 Ω

R_eq = R₁ + 1,71 = 15 + 1,71 = 16,71 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/16,71 = 0,3591 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,3591 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: τ = 74,8 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć R_th; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2,2·2,2/(2,2 + 2,2) = 1,1 kΩ

v_C(∞) = 10·2,2/(2,2 + 2,2) = 5 V

Stała czasowa

τ = R_th·C = 1,1·68 = 74,8 ms

Odpowiedź

τ = 74,8 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: C = 0,7061 µF

Wymagana stała czasowa

7,2 = 9·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(9/(9 − 7,2))

τ = 25/1,609 = 15,53 ms

Pojemność

kΩ razy µF daje milisekundy.

C = τ/R = 15,53/22 = 0,7061 µF

Odpowiedź

C = 0,7061 µF

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: T = 86,87 ns

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Okres ruchu po okręgu

Szybsza cząstka porusza się po większym okręgu, więc czas obiegu pozostaje ten sam.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·6,645 × 10⁻²⁷/(3,204 × 10⁻¹⁹·1,5) = 86,87 ns

Odpowiedź

T = 86,87 ns

Prędkość nie jest potrzebna: dlatego cyklotron może używać jednej stałej częstotliwości.

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 10 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM samoindukcji

SEM przeciwdziała zmianie prądu (Lenz), więc jej znak jest przeciwny do ΔI; wartość to L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,2·1/0,02 = 10 V

Odpowiedź

ε = 10 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 17,22 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (31)²) = 104,7 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(31/100) = 17,22°

Odpowiedź

φ = 17,22°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: B = 159,2 Hz

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,02·1·10⁻⁶)) = 1125 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,02/(1·10⁻⁶)) = 7,071

Pasmo przenoszenia

B = f₀/Q = 1125/7,071 = 159,2 Hz

Odpowiedź

B = 159,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism