Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunki +6 µC i +3 µC są oddalone o 80 cm. W jakiej odległości x od ładunku +6 µC, na odcinku między nimi, natężenie pola elektrycznego jest równe zeru?

q₁ = +6 µCq₂ = +3 µCd = 80 cm

x = cm

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Elektron wpada w jednorodne pole między dwiema równoległymi płytami, poruszając się równolegle do nich z prędkością 4,5 × 10⁷ m/s. Płyty mają długość 8 cm, a natężenie pola między nimi wynosi 3200 N/C. Ładunek elektronu 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masa 9,109 × 10⁻³¹ kg; pomiń grawitację. O ile y zostanie odchylony w bok w chwili opuszczenia płyt? Podaj wynik w mm.

v₀ = 4,5 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 3200 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 1 ms.

V_s = 9 VR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 250 ms.

V_s = 12 VR₁ = 1 kΩR₂ = 10 kΩC = 47 µFt = 250 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 200 zwojach, polu powierzchni 40 cm² i oporze 8 Ω tworzy obwód zamknięty. Jednorodne pole prostopadłe do cewki rośnie równomiernie od 0,05 T do 0,25 T w czasie 40 ms. Znajdź średni prąd indukowany I.

N = 200A = 40 cm²B: 0,05 T → 0,25 TΔt = 40 msR = 8 Ω

I = mA

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Prąd w cewce o indukcyjności 5 mH zmienia się równomiernie od 1,5 A do 1 A w czasie 1 ms. Znajdź wartość samoindukowanej SEM ε.

L = 5 mH1,5 A → 1 AΔt = 1 ms

ε = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 10 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 100 µF

V_C = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: x = 46,86 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Równe pola

6/x² = 3/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(3/6) = 0,7071

Położenie

x = 80/(1 + 0,7071) = 46,86 cm

Odpowiedź

x = 46,86 cm

Punkt zerowy leży zawsze bliżej mniejszego ładunku.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: y = 0,8893 mm

Czas przelotu między płytami

t = L/v₀ = 0,08/4,5 × 10⁷ = 1,778 × 10⁻⁹ s

Przyspieszenie poprzeczne

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3200/9,109 × 10⁻³¹ = 5,628 × 10¹⁴ m/s²

Ugięcie

y = ½·a·t² = ½·5,628 × 10¹⁴·(1,778 × 10⁻⁹)² = 0,0008893 m = 0,8893 mm

Odpowiedź

y = 0,8893 mm

Elektron jest odpychany w stronę płyty dodatniej, przeciwnie do kierunku pola.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,8333 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 8 + 4 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 6·12/(6+12) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 8 + 4 = 12 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/12 = 0,8333 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,8333 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 14,21 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 25 + 5 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 8,571 Ω

R₃ + 8,571 = 14,57 Ω

R₂ ∥ 14,57 = 9,206 Ω

R_eq = R₁ + 9,206 = 5 + 9,206 = 14,21 Ω

Odpowiedź

R_eq = 14,21 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,09371 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1,36 ms

i(∞) = V_s/R = 9/50 = 0,18 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,18·(1 − e^−1/1,36) = 0,09371 A

Odpowiedź

i = 0,09371 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 6,409 V

Początkowe napięcie kondensatora

W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.

v_C(0) = 12·10/(1 + 10) = 10,91 V

Stała czasowa po otwarciu łącznika

τ = R₂·C = 10·47 = 470 ms

Rozładowanie

v_C(t) = 10,91·e^−250/470 = 6,409 V

Odpowiedź

v_C = 6,409 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: I = 500 mA

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = (0,25 − 0,05)·0,004 = 0,0008 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,0008/0,04 = 4 V

Prąd

I = ε/R = 4/8 = 0,5 A

Odpowiedź

I = 500 mA

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 2,5 V

SEM samoindukcji

SEM przeciwdziała zmianie prądu (Lenz), więc jej znak jest przeciwny do ΔI; wartość to L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,005·0,5/0,001 = 2,5 V

Odpowiedź

ε = 2,5 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,7217 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−302,6)²) = 318,7 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 230/318,7 = 0,7217 A

Odpowiedź

I = 0,7217 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 6,401 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (117,7)²) = 124,3 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 100/124,3 = 0,8044 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 0,8044·7,958 = 6,401 V

Odpowiedź

V_C = 6,401 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism