Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Trzy ładunki punktowe leżą na prostej: −4 µC po lewej, +6 µC po prawej w odległości 10 cm i −1 µC między nimi, 2,5 cm od lewego ładunku. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na środkowy ładunek. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −4 µCq_R = +6 µCq_M = −1 µCr_L = 2,5 cmr_R = 7,5 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 5 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 6 µC leży 4 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 6 µC leży 10 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 6 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 75% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 12 VR = 15 ΩL = 33 mH

t = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 30 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 300 ms.

V_s = 20 VR = 4,7 kΩC = 220 µFv_C(0) = 30 Vt = 300 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Metalowy pręt o długości 100 cm przesuwa się z prędkością 2,5 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 0,1 T skierowanym w głąb kartki. Szyny połączono opornikiem 2 Ω; pręt i szyny mają pomijalny opór. Znajdź prąd I.

B = 0,1 TL = 100 cmv = 2,5 m/sR = 2 Ω

I = mA

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 100 zwojach, 10 cm × 25 cm, obraca się z prędkością 1500 obr/min w jednorodnym polu 0,25 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź szczytową SEM E₀.

N = 100A = 10 cm × 25 cmB = 0,25 Tn = 1500 rpm

E₀ = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 1000 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 10 Ω, L = 2 mH i C = 0,022 µF. Wyznacz jego pasmo przenoszenia B (szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy) w Hz.

R = 10 ΩL = 2 mHC = 0,022 µF

B = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 67,13 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła od każdego ładunku

Zwrot w prawo jest dodatni.

F_L = +k·4·1 × 10⁻¹²/0,025² = 57,54 N

F_R = +k·6·1 × 10⁻¹²/0,075² = 9,589 N

Siła wypadkowa

F = 57,54 + (9,589) = 67,13 N → |F| = 67,13 N

Odpowiedź

F = 67,13 N

Siła wypadkowa jest skierowana w prawo.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 170,7 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·6·5 × 10⁻¹²/0,04² = 168,6 N

F₂ = k·6·5 × 10⁻¹²/0,1² = 26,97 N

Suma wektorowa

F = √(168,6² + 26,97²) = 170,7 N

Odpowiedź

F = 170,7 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,7895 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 2 + 2 = 4 Ω

R₂ ∥ 4 = 3·4/(3+4) = 1,714 Ω

R_eq = R₁ + 1,714 = 20 + 1,714 = 21,71 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/21,71 = 1,382 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1,382·20 = 2,368 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,368/3 = 0,7895 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,7895 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,472 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 4 + 20 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 3,429 Ω

R₃ + 3,429 = 8,429 Ω

R₂ ∥ 8,429 = 6,303 Ω

R_eq = R₁ + 6,303 = 10 + 6,303 = 16,3 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/16,3 = 1,472 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,472 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 3,05 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 33 mH / 15 Ω = 2,2 ms

i(∞) = V_s/R = 12/15 = 0,8 A

Wyznacz czas

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −2,2·ln(0,25) = 3,05 ms

Odpowiedź

t = 3,05 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 27,48 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 220 µF = 1034 ms

v_C(t) = 20 + (30 − 20)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(300) = 20 + (10)·e^−300/1034 = 27,48 V

Odpowiedź

v_C = 27,48 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: I = 125 mA

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 0,1·1·2,5 = 0,25 V

Prąd

I = ε/R = 0,25/2 = 0,125 A

Odpowiedź

I = 125 mA

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E₀ = 98,17 V

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

A = 0,025 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 100·0,25·0,025·157,1 = 98,17 V

Odpowiedź

E₀ = 98,17 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 3,906 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (53,32)²) = 58,89 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 230/58,89 = 3,906 A

Odpowiedź

I = 3,906 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: B = 795,8 Hz

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,002·0,022·10⁻⁶)) = 23994 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,002/(0,022·10⁻⁶)) = 30,15

Pasmo przenoszenia

B = f₀/Q = 23994/30,15 = 795,8 Hz

Odpowiedź

B = 795,8 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism