Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Dwie identyczne małe metalowe kulki mają ładunki −4 µC i −6 µC. Zetknięto je, a następnie ustawiono z powrotem w odległości 10 cm. Wyznacz wartość siły F, z jaką teraz na siebie działają. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −4 µCq₂ = −6 µCr = 10 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Ładunki +8 µC i +8 µC są oddalone o 12 cm. Punkt P leży 10 cm od środka odcinka między nimi, na symetralnej. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = +8 µCd = 12 cmh = 10 cm

E = N/C

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 25 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 30 ms.

V_s = 15 VR₁ = 10 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 10 µFt = 30 ms

v_C = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 40 ms.

V_s = 9 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 10 kΩC = 10 µFt = 40 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Dwa długie równoległe przewody w odległości 12 cm przewodzą prądy 10 A i 25 A w przeciwnych kierunkach. Znajdź wartość indukcji magnetycznej B w punkcie P, w połowie odległości między nimi.

I₁ = 10 AI₂ = 25 Ad = 12 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 20 zwojach, 5 cm × 10 cm, obraca się w jednorodnym polu 0,5 T wokół osi prostopadłej do pola. Z jaką prędkością n (w obrotach na minutę) musi się obracać, aby dać skuteczną SEM 4,443 V?

N = 20A = 5 cm × 10 cmB = 0,5 TE_rms = 4,443 V

n = rpm

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz moc czynną P pobieraną z zasilania.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

P = W

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 22,47 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Ładunek po zetknięciu

q′ = (−4 + −6)/2 = −5 µC

Nowa siła

F = 8,99 × 10⁹·(5 × 10⁻⁶)²/0,1² = 22,47 N

Odpowiedź

F = 22,47 N

Obie kulki mają teraz ładunek tego samego znaku, więc się odpychają.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 9,069 × 10⁶ N/C

Odległość i pole jednego ładunku

r = √(6² + 10²) = 11,66 cm

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,1166² = 5,288 × 10⁶ N/C

Składowe

Składowe wzdłuż prostej łączącej ładunki się znoszą.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·5,288 × 10⁶·0,8575 = 9,069 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 9,069 × 10⁶ N/C

Pole jest skierowane wzdłuż symetralnej, od ładunków.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,088 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 2 + 15 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 2·17/(2+17) = 1,789 Ω

R_eq = R₁ + 1,789 = 12 + 1,789 = 13,79 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/13,79 = 1,088 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,088 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,3605 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 30 + 12 = 42 Ω

R₄ ∥ 42 = 6,72 Ω

R₃ + 6,72 = 8,72 Ω

R₂ ∥ 8,72 = 2,742 Ω

R_eq = R₁ + 2,742 = 25 + 2,742 = 27,74 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/27,74 = 0,3605 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,3605 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 3,178 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć R_th; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·6,8/(10 + 6,8) = 4,048 kΩ

v_C(∞) = 15·6,8/(10 + 6,8) = 6,071 V

Stała czasowa

τ = R_th·C = 4,048·10 = 40,48 ms

Krzywa ładowania

v_C(t) = 6,071·(1 − e^−30/40,48) = 3,178 V

Odpowiedź

v_C = 3,178 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 3,591 V

Początkowe napięcie kondensatora

W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.

v_C(0) = 9·10/(6,8 + 10) = 5,357 V

Stała czasowa po otwarciu łącznika

τ = R₂·C = 10·10 = 100 ms

Rozładowanie

v_C(t) = 5,357·e^−40/100 = 3,591 V

Odpowiedź

v_C = 3,591 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: B = 116,7 µT

Pole magnetyczne prądów: wokół długiego prostego przewodu linie pola są okręgami (reguła prawej dłoni), a B = μ₀I/(2πr). W środku płaskiej kołowej cewki o N zwojach B = μ₀NI/(2R). Wewnątrz długiego solenoidu pole jest jednorodne, B = μ₀nI, gdzie n = N/L to liczba zwojów na metr, niezależnie od promienia. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Pracuj w jednostkach SI (metry i ampery), a pola kilku źródeł dodawaj jako wektory.

Pole każdego przewodu w punkcie P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·10/0,06 = 33,33 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·25/0,06 = 83,33 µT

Połącz

B = B₁ + B₂ = 116,7 µT

Odpowiedź

B = 116,7 µT

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: n = 1200 rpm

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Szczytowa SEM

E₀ = √2·E_rms = 6,283 V

Prędkość kątowa

ω = E₀/(NBA) = 6,283/(20·0,5·0,005) = 125,7 rad/s

Obroty na minutę

n = 60·125,7/(2π) = 1200 rpm

Odpowiedź

n = 1200 rpm

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: P = 116,2 W

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

X_L = 188,5 Ω, X_C = 361,7 Ω

Impedancja

|Z| = √(80² + (−173,2)²) = 190,8 Ω

Moc czynna

Cewki i kondensatory tylko gromadzą i oddają energię; całą moc czynną pobiera rezystor.

I = 230/190,8 = 1,205 A

P = I²·R = 1,205²·80 = 116,2 W

Odpowiedź

P = 116,2 W

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 41,09 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·100·10⁻⁶)) = 41,09 Hz

Odpowiedź

f₀ = 41,09 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism