Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunki +5 µC i +8 µC są oddalone o 80 cm. W jakiej odległości x od ładunku +5 µC, na odcinku między nimi, natężenie pola elektrycznego jest równe zeru?

q₁ = +5 µCq₂ = +8 µCd = 80 cm

x = cm

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 4 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 4 µC leży 10 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 1 µC leży 8 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 1 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W zgromadzoną w cewce w chwili t = 5 ms, w mJ.

V_s = 10 VR = 15 ΩL = 33 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 30 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 200 ms.

V_s = 20 VR = 2,2 kΩC = 68 µFv_C(0) = 30 Vt = 200 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Metalowy pręt o długości 60 cm przesuwa się z prędkością 10 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 0,4 T skierowanym w głąb kartki. Szyny połączono opornikiem 2 Ω; pręt i szyny mają pomijalny opór. Znajdź siłę F potrzebną do utrzymania stałej prędkości pręta (bez tarcia).

B = 0,4 TL = 60 cmv = 10 m/sR = 2 Ω

F = mN

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 20 zwojach, 10 cm × 20 cm, obraca się z prędkością 3000 obr/min w jednorodnym polu 0,25 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź wartość skuteczną E_rms SEM.

N = 20A = 10 cm × 20 cmB = 0,25 Tn = 3000 rpm

E_rms = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

cos φ =

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

I = A

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: x = 35,32 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Równe pola

5/x² = 8/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(8/5) = 1,265

Położenie

x = 80/(1 + 1,265) = 35,32 cm

Odpowiedź

x = 35,32 cm

Punkt zerowy leży zawsze bliżej mniejszego ładunku.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 15,44 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·4·4 × 10⁻¹²/0,1² = 14,38 N

F₂ = k·1·4 × 10⁻¹²/0,08² = 5,619 N

Suma wektorowa

F = √(14,38² + 5,619²) = 15,44 N

Odpowiedź

F = 15,44 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,186 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 10 + 3 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 4·13/(4+13) = 3,059 Ω

R_eq = R₁ + 3,059 = 2 + 3,059 = 5,059 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/5,059 = 1,186 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,186 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,2333 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 2 + 12 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 7,241 Ω

R₃ + 7,241 = 9,241 Ω

R₂ ∥ 9,241 = 5,718 Ω

R_eq = R₁ + 5,718 = 20 + 5,718 = 25,72 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/25,72 = 0,2333 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,2333 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W = 5,9 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 33 mH / 15 Ω = 2,2 ms

i(∞) = V_s/R = 10/15 = 0,6667 A

Prąd w danej chwili

i(t) = 0,6667·(1 − e^−5/2,2) = 0,598 A

Zgromadzona energia

W = ½·L·i² = ½·33·0,598² = 5,9 mJ

Odpowiedź

W = 5,9 mJ

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 22,63 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 68 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 20 + (30 − 20)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(200) = 20 + (10)·e^−200/149,6 = 22,63 V

Odpowiedź

v_C = 22,63 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: F = 288 mN

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 0,4·0,6·10 = 2,4 V

Prąd

I = ε/R = 2,4/2 = 1,2 A

Siła hamująca

Reguła Lenza: siła działająca na prąd indukowany przeciwdziała ruchowi.

F = BIL = 0,4·1,2·0,6 = 0,288 N

Odpowiedź

F = 288 mN

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E_rms = 22,21 V

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

A = 0,02 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 20·0,25·0,02·314,2 = 31,42 V

Wartość skuteczna

E_rms = 31,42/√2 = 22,21 V

Odpowiedź

E_rms = 22,21 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: cos φ = 0,2673

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

X_L = 25,13 Ω, X_C = 169,3 Ω

Impedancja

|Z| = √(40² + (−144,2)²) = 149,6 Ω

Współczynnik mocy

cos φ = R/|Z| = 40/149,6 = 0,2673

Obwód jest pojemnościowy, więc współczynnik mocy ma charakter pojemnościowy.

Odpowiedź

cos φ = 0,2673

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,1324 A

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (89,35)²) = 90,6 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 12/90,6 = 0,1324 A

Odpowiedź

I = 0,1324 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism