Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunki +8 µC i +10 µC są oddalone o 100 cm. W jakiej odległości x od ładunku +8 µC, na odcinku między nimi, natężenie pola elektrycznego jest równe zeru?

q₁ = +8 µCq₂ = +10 µCd = 100 cm

x = cm

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Ładunki +4 µC i +4 µC są oddalone o 10 cm. Punkt P leży 12 cm od środka odcinka między nimi, na symetralnej. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = +4 µCd = 10 cmh = 12 cm

E = N/C

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W zgromadzoną w cewce w chwili t = 20 ms, w mJ.

V_s = 9 VR = 5 ΩL = 47 mHt = 20 ms

W = mJ

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 6 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 50 ms.

V_s = 5 VR = 4,7 kΩC = 33 µFv_C(0) = 6 Vt = 50 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Kwadratowa pętla przesuwa się w prawo do obszaru z jednorodnym polem magnetycznym skierowanym w głąb kartki. Kliknij kierunek prądu indukowanego w pętli, widziany na rysunku, gdy pętla wchodzi w pole.

B: w głąb kartkiwchodzi w pole

1zgodnie z ruchem wskazówek zegara
2przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Proton: start ze spoczynku, przyspieszenie napięciem 1000 V, a następnie wejście w jednorodne pole magnetyczne 0,8 T pod kątem prostym. Znajdź promień r jego toru w polu.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0,8 T

r = cm

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z L = 2 mH ma być w rezonansie przy 2000 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f₀ = 2000 HzL = 2 mH

C = µF

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest zasilany ze źródła 10 V (skuteczne), którego częstotliwość ustawiono na częstotliwość rezonansową obwodu. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_L na cewce.

V = 10 V (rms)R = 2 ΩL = 5 mHC = 4,7 µF

V_L = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: x = 47,21 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Równe pola

8/x² = 10/(100 − x)²

(100 − x)/x = √(10/8) = 1,118

Położenie

x = 100/(1 + 1,118) = 47,21 cm

Odpowiedź

x = 47,21 cm

Punkt zerowy leży zawsze bliżej mniejszego ładunku.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 3,928 × 10⁶ N/C

Odległość i pole jednego ładunku

r = √(5² + 12²) = 13 cm

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,13² = 2,128 × 10⁶ N/C

Składowe

Składowe wzdłuż prostej łączącej ładunki się znoszą.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·2,128 × 10⁶·0,9231 = 3,928 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 3,928 × 10⁶ N/C

Pole jest skierowane wzdłuż symetralnej, od ładunków.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 19,3 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 20 + 6 = 26 Ω

R₂ ∥ 26 = 20·26/(20+26) = 11,3 Ω

R_eq = R₁ + 11,3 = 8 + 11,3 = 19,3 Ω

Odpowiedź

R_eq = 19,3 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,2008 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 3 + 30 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 4,342 Ω

R₃ + 4,342 = 7,342 Ω

R₂ ∥ 7,342 = 3,828 Ω

R_eq = R₁ + 3,828 = 20 + 3,828 = 23,83 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/23,83 = 0,4197 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,4197·20 = 1,607 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,607/8 = 0,2008 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,2008 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W = 59,08 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 47 mH / 5 Ω = 9,4 ms

i(∞) = V_s/R = 9/5 = 1,8 A

Prąd w danej chwili

i(t) = 1,8·(1 − e^−20/9,4) = 1,586 A

Zgromadzona energia

W = ½·L·i² = ½·47·1,586² = 59,08 mJ

Odpowiedź

W = 59,08 mJ

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 5,724 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 33 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 5 + (6 − 5)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(50) = 5 + (1)·e^−50/155,1 = 5,724 V

Odpowiedź

v_C = 5,724 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia

Strumień w głąb kartki rośnie albo strumień ku czytelnikowi maleje.

Pole prądu indukowanego

Prąd indukowany przeciwdziała zmianie.

Pole indukowane wewnątrz pętli: ku czytelnikowi.

Kierunek prądu

Reguła prawej dłoni: prąd płynący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara daje wewnątrz pętli pole skierowane ku czytelnikowi.

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

Odpowiedź

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 0,5713 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Prędkość po przyspieszeniu

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·1000/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 437621 m/s

Promień w polu

r = mv/(|q|B) = 0,005713 m = 0,5713 cm

Odpowiedź

r = 0,5713 cm

Łącznie: r = √(2mV/|q|)/B, więc cięższe jony o tym samym ładunku poruszają się po większych okręgach; tak rozdziela się izotopy.

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: C = 3,166 µF

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0,002) = 3,166 µF

Odpowiedź

C = 3,166 µF

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_L = 163,1 V

Rezonans

W rezonansie reaktancje się znoszą, więc impedancja jest równa samemu R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·4,7·10⁻⁶) = 6523 rad/s

I = V/R = 10/2 = 5 A

Napięcie na cewce

X_L = ω₀L = 6523·0,005 = 32,62 Ω

V_L = I·X_L = 5·32,62 = 163,1 V

Odpowiedź

V_L = 163,1 V

To Q = 16,31 razy napięcie zasilania.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism