Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunki +3 µC i +4 µC są oddalone o 60 cm. W jakiej odległości x od ładunku +3 µC, na odcinku między nimi, natężenie pola elektrycznego jest równe zeru?

q₁ = +3 µCq₂ = +4 µCd = 60 cm

x = cm

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Dwie identyczne małe kulki, każda o masie 5 g, wiszą w tym samym punkcie na izolujących niciach o długości 80 cm. Nadano im równe ładunki i każda nić ustala się pod kątem 5° do pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ładunek q każdej kulki w nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 80 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 25 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przez cewkę płynie ustalony prąd 2,5 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Ile czasu potrzeba, aby prąd spadł do 1,25 A? Wyznacz t.

i(0) = 2,5 AR = 15 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 8 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 40 ms.

V_s = 6 VR = 4,7 kΩC = 10 µFv_C(0) = 8 Vt = 40 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 200 zwojach ma pole powierzchni 100 cm². Cewka znajduje się w jednorodnym polu 0,3 T prostopadłym do jej płaszczyzny, a pole wyłączono w czasie 100 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 200A = 100 cm²B = 0,3 TΔt = 100 ms

ε = V

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 100 zwojów, długość 30 cm i średnicę 5 cm. Znajdź jego samoindukcję L.

N = 100l = 30 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z L = 10 mH ma być w rezonansie przy 60 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f₀ = 60 HzL = 10 mH

C = µF

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 22 µF

I = A

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: x = 27,85 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Równe pola

3/x² = 4/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(4/3) = 1,155

Położenie

x = 60/(1 + 1,155) = 27,85 cm

Odpowiedź

x = 27,85 cm

Punkt zerowy leży zawsze bliżej mniejszego ładunku.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: q = 96,35 nC

Siła elektryczna z warunku równowagi

Pozioma składowa siły naciągu równoważy F, a pionowa m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 5° = 0,004291 N

Odległość

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 5° = 0,1394 m

Ładunek

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1394·√(0,004291/8,99 × 10⁹) = 9,635 × 10⁻⁸ C = 96,35 nC

Odpowiedź

q = 96,35 nC

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 6,25 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 3 + 6 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 3·9/(3+9) = 2,25 Ω

R_eq = R₁ + 2,25 = 4 + 2,25 = 6,25 Ω

Odpowiedź

R_eq = 6,25 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,1908 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 3 + 12 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 1,765 Ω

R₃ + 1,765 = 21,76 Ω

R₂ ∥ 21,76 = 2,637 Ω

R_eq = R₁ + 2,637 = 25 + 2,637 = 27,64 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/27,64 = 0,2171 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,2171·25 = 0,5724 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,5724/3 = 0,1908 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,1908 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 2,172 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 47 mH / 15 Ω = 3,133 ms

Wyznacz czas

1,25 = 2,5·e^−t/τ → t = τ·ln(2,5/1,25)

t = 3,133·ln(2) = 2,172 ms

Odpowiedź

t = 2,172 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 6,854 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms

v_C(t) = 6 + (8 − 6)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(40) = 6 + (2)·e^−40/47 = 6,854 V

Odpowiedź

v_C = 6,854 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 6 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = 0,3·0,01 = 0,003 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,003/0,1 = 6 V

Odpowiedź

ε = 6 V

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: L = 82,25 µH

Przekrój poprzeczny

A = π·(0,025)² = 0,001963 m²

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·100²·0,001963/0,3 = 8,225 × 10⁻⁵ H = 82,25 µH

Odpowiedź

L = 82,25 µH

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: C = 703,6 µF

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0,01) = 703,6 µF

Odpowiedź

C = 703,6 µF

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,2107 A

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (215,2)²) = 237,3 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 50/237,3 = 0,2107 A

Odpowiedź

I = 0,2107 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism