Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +5 µC i ładunek +1 µC znajdują się w odległości 60 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 45 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +5 µCq₂ = +1 µCr₁ = 45 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Elektron wpada w jednorodne pole między dwiema równoległymi płytami, poruszając się równolegle do nich z prędkością 4,5 × 10⁷ m/s. Płyty mają długość 5 cm, a natężenie pola między nimi wynosi 4600 N/C. Ładunek elektronu 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masa 9,109 × 10⁻³¹ kg; pomiń grawitację. O ile y zostanie odchylony w bok w chwili opuszczenia płyt? Podaj wynik w mm.

v₀ = 4,5 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 4600 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 50% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 10 VR = 10 ΩL = 150 mH

t = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo zamknięty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się otwiera. Po jakim czasie od t = 0 prąd cewki osiągnie 1,05 A? Wyznacz t.

V_s = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩL = 47 mH

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Kołowa pętla leży w jednorodnym polu magnetycznym skierowanym ku czytelnikowi. Natężenie pola rośnie. Kliknij kierunek prądu indukowanego w pętli, widziany na rysunku.

B: ku czytelnikowidB/dt > 0

1zgodnie z ruchem wskazówek zegara
2przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Dwie cewki o indukcyjnościach własnych 20 mH i 200 mH mają współczynnik sprzężenia 0,9. Prąd w pierwszej cewce zmienia się z szybkością 10 A/s. Znajdź SEM ε indukowaną w drugiej cewce.

L₁ = 20 mHL₂ = 200 mHk = 0,9di/dt = 10 A/s

ε = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z C = 0,1 µF ma być w rezonansie przy 200 Hz. Wyznacz potrzebną indukcyjność L.

f₀ = 200 HzC = 0,1 µF

L = mH

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Rezystor R₁ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R₂ i kondensatora C i podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 20 ΩC = 100 µF

|Z| = Ω

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 177580 N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,45² = 221975 N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,15² = 399556 N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |221975 − 399556| = 177580 N/C

Odpowiedź

E = 177580 N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: y = 0,4994 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Czas przelotu między płytami

t = L/v₀ = 0,05/4,5 × 10⁷ = 1,111 × 10⁻⁹ s

Przyspieszenie poprzeczne

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4600/9,109 × 10⁻³¹ = 8,09 × 10¹⁴ m/s²

Ugięcie

y = ½·a·t² = ½·8,09 × 10¹⁴·(1,111 × 10⁻⁹)² = 0,0004994 m = 0,4994 mm

Odpowiedź

y = 0,4994 mm

Elektron jest odpychany w stronę płyty dodatniej, przeciwnie do kierunku pola.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 1,286 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 10 + 8 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 15·18/(15+18) = 8,182 Ω

R_eq = R₁ + 8,182 = 2 + 8,182 = 10,18 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/10,18 = 2,357 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 2,357·2 = 19,29 V

I_R2 = V_A/R₂ = 19,29/15 = 1,286 A

Odpowiedź

I_R2 = 1,286 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 15,97 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 10 + 20 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 3,529 Ω

R₃ + 3,529 = 23,53 Ω

R₂ ∥ 23,53 = 5,97 Ω

R_eq = R₁ + 5,97 = 10 + 5,97 = 15,97 Ω

Odpowiedź

R_eq = 15,97 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 10,4 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms

i(∞) = V_s/R = 10/10 = 1 A

Wyznacz czas

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −15·ln(0,5) = 10,4 ms

Odpowiedź

t = 10,4 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 1,303 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 zamknięty łącznik bocznikuje R₂; potem w obwodzie są zarówno R₁, jak i R₂.

i(0) = 15/10 = 1,5 A

i(∞) = 15/(10 + 15) = 0,6 A

τ = L/R = 47/25 = 1,88 ms

i(t) = 0,6 + (1,5 − 0,6)·e^−t/τ

Wyznacz czas

e^−t/τ = (1,05 − 0,6)/(1,5 − 0,6) = 0,5

t = 1,88·ln(2) = 1,303 ms

Odpowiedź

t = 1,303 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia

Strumień ku czytelnikowi rośnie albo strumień w głąb kartki maleje.

Pole prądu indukowanego

Prąd indukowany przeciwdziała zmianie.

Pole indukowane wewnątrz pętli: w głąb kartki.

Kierunek prądu

Reguła prawej dłoni: prąd płynący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara daje wewnątrz pętli pole skierowane ku czytelnikowi.

zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Odpowiedź

zgodnie z ruchem wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 0,5692 V

Indukcyjność wzajemna

M = 0,9·√(20·200) = 56,92 mH

Indukowana SEM

ε = M·di/dt = 0,05692·10 = 0,5692 V

Odpowiedź

ε = 0,5692 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: L = 6333 mH

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(1257²·0,1·10⁻⁶) = 6333 mH

Odpowiedź

L = 6333 mH

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 33,45 Ω

Reaktancja

X_C = 1/(2π·200·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Z_p na część rzeczywistą i urojoną.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 2,734 − j6,87 Ω

Impedancja całkowita

Z = 30 + 2,734 − j6,87 = 32,73 − j6,87 Ω

|Z| = √(32,73² + 6,87²) = 33,45 Ω

Odpowiedź

|Z| = 33,45 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism