Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +3 µC i ładunek +6 µC znajdują się w odległości 10 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 6 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +3 µCq₂ = +6 µCr₁ = 6 cmr₂ = 4 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Dwie identyczne małe kulki, każda o masie 8 g, wiszą w tym samym punkcie na izolujących niciach o długości 60 cm. Nadano im równe ładunki i każda nić ustala się pod kątem 10° do pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ładunek q każdej kulki w nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 60 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz napięcie v_L na cewce w chwili t = 5 ms.

V_s = 20 VR = 20 ΩL = 68 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo zamknięty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz prąd cewki i w chwili t = 1 ms.

V_s = 9 VR₁ = 47 ΩR₂ = 22 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Kołowa pętla leży w jednorodnym polu magnetycznym skierowanym w głąb kartki. Natężenie pola maleje. Kliknij kierunek prądu indukowanego w pętli, widziany na rysunku.

B: w głąb kartkidB/dt < 0

1zgodnie z ruchem wskazówek zegara
2przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Krótka cewka o 100 zwojach jest ciasno nawinięta na środku długiego solenoidu o 800 zwojach, długości 30 cm i średnicy 2 cm. Prąd w solenoidzie zmienia się z szybkością 1000 A/s. Znajdź SEM ε indukowaną w krótkiej cewce.

N₁ = 800N₂ = 100l = 30 cm⌀ = 2 cmdi/dt = 1000 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z L = 100 mH ma być w rezonansie przy 100 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f₀ = 100 HzL = 100 mH

C = µF

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 1000 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 1 µF

V_C = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 2,622 × 10⁷ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,06² = 7,492 × 10⁶ N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,04² = 3,371 × 10⁷ N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |7,492 × 10⁶ − 3,371 × 10⁷| = 2,622 × 10⁷ N/C

Odpowiedź

E = 2,622 × 10⁷ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: q = 258,5 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła elektryczna z warunku równowagi

Pozioma składowa siły naciągu równoważy F, a pionowa m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 10° = 0,01384 N

Odległość

r = 2·L·sin θ = 2·0,6·sin 10° = 0,2084 m

Ładunek

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2084·√(0,01384/8,99 × 10⁹) = 2,585 × 10⁻⁷ C = 258,5 nC

Odpowiedź

q = 258,5 nC

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,5051 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 6 + 6 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 8·12/(8+12) = 4,8 Ω

R_eq = R₁ + 4,8 = 15 + 4,8 = 19,8 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/19,8 = 0,5051 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,5051 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,2492 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 15 + 8 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 1,84 Ω

R₃ + 1,84 = 21,84 Ω

R₂ ∥ 21,84 = 2,638 Ω

R_eq = R₁ + 2,638 = 15 + 2,638 = 17,64 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/17,64 = 0,2835 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,2835·15 = 0,7477 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,7477/3 = 0,2492 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,2492 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_L = 4,596 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3,4 ms

i(∞) = V_s/R = 20/20 = 1 A

Napięcie na cewce

W t = 0 całe napięcie zasilania jest na cewce; potem maleje do zera.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 20·e^−5/3,4 = 4,596 V

Odpowiedź

v_L = 4,596 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,1526 A

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 zamknięty łącznik bocznikuje R₂; potem w obwodzie są zarówno R₁, jak i R₂.

i(0) = 9/47 = 0,1915 A

i(∞) = 9/(47 + 22) = 0,1304 A

τ = L/R = 68/69 = 0,9855 ms

i(t) = 0,1304 + (0,1915 − 0,1304)·e^−t/τ

Prąd w danej chwili

i(1) = 0,1304 + (0,06105)·e^−1/0,9855 = 0,1526 A

Odpowiedź

i = 0,1526 A

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia

Strumień ku czytelnikowi rośnie albo strumień w głąb kartki maleje.

Pole prądu indukowanego

Prąd indukowany przeciwdziała zmianie.

Pole indukowane wewnątrz pętli: w głąb kartki.

Kierunek prądu

Reguła prawej dłoni: prąd płynący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara daje wewnątrz pętli pole skierowane ku czytelnikowi.

zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Odpowiedź

zgodnie z ruchem wskazówek zegara

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 105,3 mV

Indukcyjność wzajemna

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·800·100·0,0003142/0,3 = 105,3 µH

Indukowana SEM

ε = M·di/dt = 0,0001053·1000 = 105,3 mV

Odpowiedź

ε = 105,3 mV

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: C = 25,33 µF

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628,3²·0,1) = 25,33 µF

Odpowiedź

C = 25,33 µF

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 114,9 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (155)²) = 166,2 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 120/166,2 = 0,722 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 0,722·159,2 = 114,9 V

Odpowiedź

V_C = 114,9 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism