Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +8 µC i ładunek +4 µC znajdują się w odległości 50 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 30 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +8 µCq₂ = +4 µCr₁ = 30 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Ładunki +10 µC i +10 µC są oddalone o 8 cm. Punkt P leży 10 cm od środka odcinka między nimi, na symetralnej. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +10 µCq₂ = +10 µCd = 8 cmh = 10 cm

E = N/C

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 1 ms.

V_s = 9 VR = 33 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo otwarty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się zamyka i zwiera R₂. Wyznacz prąd cewki i w chwili t = 1 ms.

V_s = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 33 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 20 zwojach ma pole powierzchni 200 cm². Jednorodne pole prostopadłe do cewki rośnie równomiernie od 0,2 T do 0,5 T w czasie 500 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 20A = 200 cm²B: 0,2 T → 0,5 TΔt = 500 ms

ε = mV

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Prąd w cewce o indukcyjności 100 mH zmienia się równomiernie od 2 A do 1 A w czasie 20 ms. Znajdź wartość samoindukowanej SEM ε.

L = 100 mH2 A → 1 AΔt = 20 ms

ε = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i kondensator są połączone równolegle i podłączone do zasilania 12 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩC = 47 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Rezystor R₁ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R₂ i kondensatora C i podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 20 ΩC = 47 µF

I = A

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 99889 N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,3² = 799111 N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,2² = 899000 N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |799111 − 899000| = 99889 N/C

Odpowiedź

E = 99889 N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,439 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Odległość i pole jednego ładunku

r = √(4² + 10²) = 10,77 cm

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,1077² = 7,75 × 10⁶ N/C

Składowe

Składowe wzdłuż prostej łączącej ładunki się znoszą.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·7,75 × 10⁶·0,9285 = 1,439 × 10⁷ N/C

Odpowiedź

E = 1,439 × 10⁷ N/C

Pole jest skierowane wzdłuż symetralnej, od ładunków.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,208 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 20 + 5 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 4·25/(4+25) = 3,448 Ω

R_eq = R₁ + 3,448 = 4 + 3,448 = 7,448 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/7,448 = 1,208 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,208 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 11,77 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 10 + 10 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 7,5 Ω

R₃ + 7,5 = 13,5 Ω

R₂ ∥ 13,5 = 8,766 Ω

R_eq = R₁ + 8,766 = 3 + 8,766 = 11,77 Ω

Odpowiedź

R_eq = 11,77 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,1724 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 9/33 = 0,2727 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2727·(1 − e^−1/1) = 0,1724 A

Odpowiedź

i = 0,1724 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,3371 A

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 w obwodzie są oba rezystory; potem zamknięty łącznik bocznikuje R₂.

i(0) = 9/(20 + 33) = 0,1698 A

i(∞) = 9/20 = 0,45 A

τ = L/R = 22/20 = 1,1 ms

i(t) = 0,45 + (0,1698 − 0,45)·e^−t/τ

Prąd w danej chwili

i(1) = 0,45 + (−0,2802)·e^−1/1,1 = 0,3371 A

Odpowiedź

i = 0,3371 A

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 240 mV

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = (0,5 − 0,2)·0,02 = 0,006 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,006/0,5 = 0,24 V

Odpowiedź

ε = 240 mV

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 5 V

SEM samoindukcji

SEM przeciwdziała zmianie prądu (Lenz), więc jej znak jest przeciwny do ΔI; wartość to L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,1·1/0,02 = 5 V

Odpowiedź

ε = 5 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −71,29 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 12/100 = 0,12 A

I_X = V/X_C = 12/33,86 = 0,3544 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,12² + 0,3544²) = 0,3741 A

Kąt fazowy

Prąd kondensatora wyprzedza V, więc prąd całkowity też wyprzedza, a kąt jest ujemny.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(0,3544/0,12) = −71,29°

Odpowiedź

φ = −71,29°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,3678 A

Reaktancja

X_C = 1/(2π·500·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Z_p na część rzeczywistą i urojoną.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 2,057 − j6,076 Ω

Impedancja całkowita

Z = 30 + 2,057 − j6,076 = 32,06 − j6,076 Ω

|Z| = √(32,06² + 6,076²) = 32,63 Ω

Prąd

I = V/|Z| = 12/32,63 = 0,3678 A

Odpowiedź

I = 0,3678 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism